Тема 2.2 основы интегрального исчисления функций одной переменной.
Краткие теоретические сведения:
[2]: с.138-140.
Функция
называется первообразной для функции
,
если
.
Общее выражение
совокупности всех первообразных для
функции
называется неопределенным интегралом
от этой функции. Проинтегрировать
функцию
- значит найти ее неопределенный интеграл.
Непосредственное интегрирование
основано на прямом использовании
основных свойств неопределенного
интеграла и таблицы простейших интегралов.
Задача 1. Найдите интеграл:
В основе интегрирования способом подстановки лежит свойство инвариантности формул интегрирования.
Задача 2. Найдите интеграл:
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:
При этом в качестве u берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве v– та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Так при нахождении интегралов вида:
за u следует принять
многочлен
.
При нахождении интегралов вида:
за uпринимаются функции
Например,
Для любой функции 
,
непрерывной на отрезке
всегда существует определенный интеграл.
Для вычисления определенного интеграла
от функции
в
том случае, когда можно найти соответствующий
неопределенный интеграл, служит формула
Ньютона-Лейбница:
т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Самостоятельная работа №1.
Вид работы: повторение материала по теме «Первообразная. Неопределенный интеграл».
Форма организации работы: коллективная.
Порядок выполнения работы:
Повторите теоретический материал по теме ([2]: с.138-140).
Решите в рабочей тетради задачи: [2]: с.147 №188, № 192, № 194, № 201
Самостоятельная работа №2.
Вид работы: подготовка к практической работе №11 на тему «Вычисление неопределенного интеграла различными методами».
Форма организации работы: коллективная.
Порядок выполнения работы:
Повторите теоретический материал по теме работы ( МУ: с.20-21).
Ответьте на вопросы:
- Что называется первообразной функции?
- Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
- Какие методы интегрирования вы знаете?
Самостоятельная работа №3.
Вид работы: подготовка к практической работе №12 на тему «Вычисление определенного интеграла».
Форма организации работы: коллективная.
Порядок выполнения работы:
Повторите теоретический материал по теме работы ( МУ: с.20-21).
Ответьте на вопросы:
- Что называется первообразной функции?
- Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
- Какие методы интегрирования вы знаете?
Самостоятельная работа №4.
Вид работы: повторение материала и подготовка к практической работе №13 на тему «Приложения определенного интеграла».
Форма организации работы: коллективная.
Порядок выполнения работы:
Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: с.205-209; [2]: с.152-157).
Тема 2.3 основы дифференциального и интегрального исчисления функций нескольких переменных.
Краткие теоретические сведения:
[1]: Гл.16.
Частной производной функции
по
переменной x
называется производная этой функции
при постоянном значении переменной y;
она обозначается
или
.
Частной производной функции
по
переменной y
называется производная этой функции
при постоянном значении переменной x;
она обозначается
или
.
Частная производная функции нескольких переменных по одной переменной определяется как производная этой функции по соответствующей переменной при условии, что остальные переменные считаются постоянными.
Полным дифференциалом функции
в
некоторой точке
называется выражение
,
где
и
вычисляются в точке
,
а
,
Смешанные производные
и
в случае их непрерывности равны между
собой.
Задача 1. Найти
,
если
,
,
.
Решение:
