Числовые характеристики случайных величин
Как показано в
теории ошибок, из полученных при измерении
величины
в
опытах ряда значений
,
наиболее близким к истинному значению
является среднее
арифметическое
значение
(4.4)
Отклонения случайной
величины
от ее среднего значения
рассматриваются как ошибки. Для их
оценки используют понятие среднего
квадратичного отклонения (СКО)
случайной величины:
а) СКО отдельного измерения
;
(4.5)
б) СКО среднего арифметического (результата измерения)
(4.6)
Предельная ошибка
- это максимальное по абсолютной величине
отклонений случайной величины
от ее среднего значения
.
Доверительной
вероятностью предельного
отклонения называют вероятность
,
с которой ошибки отдельных измерений
по абсолютной величине будут меньше
предельной ошибки
.
При этом, как
известно, вероятность случайного события
находится в интервале
.
Для экспериментальных задач в большинстве
случаев, доверительная вероятность
составляет
=0,9
÷ 0,95 и большая надежность не требуется.
Интервал (
;
),
в котором с заданной вероятностью
находится истинное значение
,
называют доверительным интервалом.
В экспериментальных исследованиях, как и в настоящем лабораторном практикуме, нередко используют результаты ограниченного числа измерений (обычно 3-х или 4-х измерений), называемых выборкой.
Тогда предельную ошибку определяют, используя корректный метод, основанный на распределении Стьюдента, по формуле
.
(4.7)
где
- параметр Стьюдента, определяемый при
заданной вероятности
и числе опытов
по
таблице П.2 приложения;
- СКО отдельного измерения, вычисленное
по формуле (4.5).
Вероятностный критерий грубых погрешностей
(промахов)
Пусть имеется (
)
результатов наблюдений
,
где значение
резко выделяется. Задача заключается
в том, чтобы выяснить, является ли это
измерение промахом или оно может быть
объяснено статистическим разбросом.
Сначала вычисляют для результатов (выделяющееся наблюдение исключают) среднее арифметическое значение по формуле (4.4), СКО по формуле (4.5) и рассчитывают отклонение ( ) наблюдения
.
(4.8)
Затем находят предельное отклонение наблюдений
.
(4.9)
где
-
параметр Стьюдента, взятый из таблицы
П.3 приложения, для числа наблюдений
и заданной доверительной вероятности
.
Если
,
то с вероятностью
наблюдение
считают промахом и отбрасывают. Если
имеется несколько выделяющихся
наблюдений, то вычисляют
и
без них, а затем по каждому из них проводят
оценку по изложенной выше схеме.
Пример 1: Результаты
пяти наблюдений прогиба балки
,
мм: 1,42; 1,63; 1,51; 1,68; 2,12. Проверить,
является ли наблюдение
= 2,12 мм промахом
при доверительной вероятности
= 0,90.
Решение: а) по
формулам (4.4) и (4.5) учитывая, что (
)
= 5, вычисляют среднее арифметическое
значение прогиба
и СКО
:
б)
по таблице П.3 приложения для четырех
наблюдений
=
4 при доверительной вероятности
= 0,90 находят параметр Стьюдента
=
1,689. Затем по формуле (4.8) вычисляют
отклонение наблюдения (
)
= 5, т.е. «выскакивающего» наблюдения
= 2,12 мм:
;
в) по формуле (4.9) находят величину предельного отклонения ( = 4) наблюдений:
.
Т.к. , то наблюдение = 2,12 мм = 2,12·10-3м является промахом и его отбрасывают.