1.2.7. Нормальные и совершенные нормальные формы логических функций
Существует 2 формы представления логических функций:
- дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ);
- конъюнктивная нормальная форма (КНФ).
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)– это форма представления логической функции в виде дизъюнкции ряда членов, каждый из которых представляет собой простую конъюнкцию аргументов или инверсий аргументов.
Совершенная ДНФ – (СДНФ) - это ДНФ, в каждом члене которой присутствуют все аргументы.
Чтобы получить СДНФ функции заданной таблицей необходимо записать столько дизъюнктивных членов, сколько единиц содержит функция в таблице. Для каждой единицы записать простую конъюнкцию аргументов, или инверсии аргументов, если их значения равны нулю.
Пусть функция представлена таблицей 1.2.7.1.
Таблица 1.2.7.1. Таблица истинности функции.
-
Х1
0
0
0
0
1
1
1
1
Х2
0
0
1
1
0
0
1
1
Х3
0
1
0
1
0
1
0
1
ƒ
1
0
0
0
1
0
1
1
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) - это форма представления логических функций в виде конъюнкции ряда членов, каждый из которых представляет собой простую дизъюнкцию аргументов или инверсий аргументов.
Совершенная КНФ-(СКНФ)-это КНФ, в каждом члене которой присутствуют все аргументы.
Чтобы получить СКНФ функции, заданной таблицей, необходимо записать столько конъюнктивных членов, сколько нулей содержит функция в таблице. Для каждого нуля записать простую дизъюнкцию аргументов или инверсий аргументов, если их значения равны единице.
СКНФ функции, представленной в таблице 1.6.
1.2.8. Минимизация логических функций методом Квайна
Метод Квайна позволяет представлять функции с минимальным числом членов и минимальным числом символов в членах. Преобразование осуществляется в несколько этапов. Рассмотрим минимизацию логической функции, заданной таблицей 1.6.
Чтобы получить минимальную дизъюнктивную нормальную форму (МДНФ) необходимо:
1. Записать СДНФ функции, заданной таблицей
2. Выполнить операцию склеивания между членами, отличающимися в одном аргументе. Результатами склеивания будут одинаковые аргументы.
1-2
2-3
3-4
3. Результаты склеивания добавить в качестве дополнительных членов к исходной СДНФ и выполнить операцию поглощения. Результаты склеивания поглощают те члены, из которых они получились.
В результате получаем сокращенную ДНФ, члены которой называются простыми импликантами.
4. Построить импликантную матрицу, в столбцах которой записать члены исходной СДНФ, а в строках - простые импликанты. Звездочками отметить члены СДНФ, поглощаемые каждой простой импликантой (таблица 1.2.8.1.)
Таблица 1.2.8.1.
-
Простые
импликанты
Члены СДНФ
*
*
*
*
*
*
5. В МДНФ включить минимальное количество простых импликант (с минимальным количеством символов), обеспечивающих поглощение всех членов СДНФ.
Чтобы получить МКНФ необходимо аналогичные преобразования выполнить над СКНФ.
Рассмотрим минимизацию логической функции, заданной таблицей 1.2.8.2.
Таблица 1.2.8.2.
-
Х1
0
0
0
0
1
1
1
1
Х2
0
0
1
1
0
0
1
1
Х3
0
1
0
1
0
1
0
1
ƒ
0
0
1
0
1
0
1
1
1. Записать СКНФ функции, заданной таблицей
2. Выполнить операцию склеивания между членами, отличающимися в одном аргументе. Результатами склеивания будут одинаковые аргументы.
1-2
2-3
2-4
3. Результаты склеивания добавить в качестве дополнительных членов к исходной СДНФ и выполнить операцию поглощения. Результаты склеивания поглощают те члены, из которых они получились.
В результате получаем сокращенную КНФ, члены которой называются простыми импликантами.
4. Построить импликантную матрицу, в столбцах которой записать члены исходной СКНФ, а в строках- простые импликанты. Звездочками отметить члены СКНФ, поглощаемые каждой простой импликантой (таблица 1.2.8.3. )
Таблица 1.2.8.3.
-
Простые
импликанты
Члены СКНФ
*
*
*
*
*
*
5. В МКНФ включить минимальное количество простых импликант (с минимальным количеством символов), обеспечивающих поглощение всех членов СКНФ.
