1.2.6. Основной базис алгебры логики

Очевидно, могут быть построены простейшие элементы, реализую­щие элементарные логические функции двух переменных f₀ –f₁₅. Сложные логические функции могут быть построены путем последовательного выполнения функциональных зависимостей, связывающих пары пере­менных.

Следовательно, имея элементы, осуществляющие элементарные опе­рации f₀ –f₁₅, можно выполнить любую сложную логическую операцию. Такую систему функций можно назвать полной системой или базисом. Однако условие наличия 16 различных типов логических элементов, каждый из которых реализует одну из 16 элементарных функцій f₀ –f₁₅, является условием, достаточным для синтеза логического устройства любой сложности, но это условие не является необходимым, т. е. при синтезе можно ограничиться меньшим набором элементарных функций, взятых из f₀ –f₁₅.

Последовательно исключая из базиса функции, можно получить так называемый минимальный базис. Под минимальным базисом по­нимают такой набор функций, исключение из которого любой функции превращает этот набор в неполную систему функций.

Возможны различные базисы и минимальные базисы, различающие­ся числом входящих в них функций и видом этих функций. Выбор того или иного базиса для синтеза логического устройства связан с тем, на­сколько просто, удобно и экономично технически выполнить элементы, реализующие элементарные функции, которые входят в выбранный базис, и в целом все логическое устройство.

Теперь можно сформулировать условие полноты системы функций алгебры логики.

Система функций будет полной (образует базис), если для любого из пяти рассмотренных свойств в этой системе найдется хотя бы одна функция, не обладающая этим свойством.

Таким образом, если бы полная система была составлена из функций, каждая из которых не обладала хотя бы одним из пяти свойств, то систе­ма включала бы в себя пять функций, а шестая была бы лишней. Однако некоторые функции не обладают несколькими свойствами. Так, например функции «ИЛИ-НЕ», «И-НЕ», не обладают ни одним из пяти свойств логических функций, поэтому они образуют минимальные базисы и на их основе можно построить логическое выражение любой сложности.

Логическое устройство, реализованное в базисах «ИЛИ-НЕ», «И-НЕ» имеет следующие преимущества:

-уменьшение номенклатуры элементов до одного типа упрощает компоновку устройства и его ремонт;

- наличие в каждом элементе инвертора (усилителя) компенсирует затухание потенциалов при передаче их через конъюнктор или дизъюнктор элемента, кроме того инвертор увеличивает нагрузочную способность элемента, а наличие емкости на выходе не вызывает длительного переходного процесса при смене потенциалов.

Именно поэтому элементы этих базисов широко выпускаются промышленностью в интегральном исполнении.

Рассмотрим представление логической функции «Эквивалентность» в базисах «ИЛИ-НЕ», «И-НЕ».

Чтобы выполнить преобразование, необходимо логическую функцию дважды проинвертировать и одну инверсию раскрыть по правилу Моргана, записывая логическое выражение через операцию «ИЛИ-НЕ» или «И-НЕ».

На рисунке 1.2.6.1. представлена схема, реализующая операцию «эквивалентность» в базисе «ИЛИ-НЕ».

Рисунок 1.2.6.1.

Схема, реализующая операцию «эквивалентность» в базисе «ИЛИ-НЕ».

На рисунке 1.2.6.2. представлена схема, реализующая операцию «эквивалентность» в базисе «И-НЕ».

Рисунок 1.2.6.2.

Схема, реализующая операцию «эквивалентность» в базисе «И-НЕ».