Тема «Производная функции и ее приложения».

Вопросы:

• Задачи, приводящие к понятию производной.

• Понятие производной.

• Правила вычисления производной.

• Производная сложной функции.

• Промежутки монотонности. Возрастание и убывание функции.

• Экстремум функции.

• Таблица производных.

В результате изучения темы слушатели должны уметь:

• вычислять производную,

• исследовать функцию на возрастание и убывание, используя производную,

• находить экстремум функции.

Эти вопросы рассмотрены в [1],[3],[5] и в [2],[3],[5] приведены примеры решений типовых задач.

[1] Глава 5. Дифференцирование. Стр. 104-126.

[2] Глава 5. Дифференцирование. Стр. 54-81.

[3] Глава 5. Введение в анализ. Стр. 97-185.

[5] Глава 6. Введение в анализ. Стр. 172-189.

Глава 7. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной. Стр. 190-235. Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача о скорости. Пешеход движется прямолинейно. Положение его траектории определяется ее абсциссой, которая будет функцией времени . Пусть в момент времени пешеход занимает положение , за время он переместиться в точку тогда за это время пешеход пройдет путь . Средняя скорость пешехода определяется по формуле за время . Тогда средняя скорость в момент времени определяется по формуле:

Задача о касательной.

З адан график функции . В точке требуется написать уравнение касательной. Построим касательную: возьмем две точки на графике функции и проведем через них секущую. Устремим точку к . Тогда секущая будет приближаться к касательной. Таким образом касательная – есть предельное положение секущих. Тангенс угла наклона касательной можно вычислить по формуле . Уравнение касательной имеет вид .

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции, к вызвавшему это приращение приращению аргумента.

Основные правила нахождения производной. Таблица производных

Обозначения: с – постоянная, u, v – функции, дифференцируемые в .

1. (c)' = 0, где с – постоянное число,

2. ,

3. 

4. 

Производные основных элементарных функций.

1. 

2. – (частный случай формулы 1)

3. – (частный случай формулы 1)

4. – (частный случай формулы 1)

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

Вычисление производной функции.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Воспользуемся правилами: производная от суммы (разности) равна сумме (разности) производных, константу можно выносить из под знака производной:

Пример. Найти производную функции у =х⁴·е^х.

Решение. Воспользуемся правилом вычисления производной произведения: .

Пример. Найти производную функции .

Решение. Воспользуемся правилом вычисления производной частного:

.

Вычисление производной сложной функции.

Если у = f(u), где u = (x), т. е. если у зависит от х через посредство промежуточного аргумента u, то у называется сложной функцией от х, функцию f называют внешней функцией, а функцию – внутренней.

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции:

у ^' = f ^'(u)· u ^'(х).

Пример. Вычислить производную функции

1. .

y' = [(x² – 1)^-4] ' = -4(x² – 1)^-4-1·(x² – 1) ' = -4(x² – 1)^-5·2x = -8x (x² – 1)^-5.

2. Это сложная функция (трехуровневая)

3.