Тема: «Предел функции»

Вопросы:

• Понятие предела.

• Свойства пределов.

• Первый и второй замечательный предел.

• Правила вычисления пределов.

В результате изучения темы слушатели должны уметь:

• Вычислять пределы.

Эти вопросы рассмотрены в [1],[3],[5] и в [2],[3],[5] приведены примеры решений типовых задач.

[1] Глава 4. Функции одной переменной. Стр. 69-103.

Глава 11. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Стр. 275-283.

[2] Глава 11. Понятие, предел и непрерывность функций нескольких переменных. Стр. 179-183.

[3] Глава 5. Введение в анализ. Стр. 97-185.

[5] Глава 6. Введение в анализ. Стр. 172-189.

Предел функции.

Определение. Пределом функции называется такое число А, что

Предел непрерывной функции. Предел непрерывной функции равен значению функции в заданной точке.

Если существуют конечные пределы и , то

1. ,

2. ,

3. .

4. Константу можно выносить из под знака предела

5. Предел константы равен константе.

Предел многочлена: при равен значению этого многочлена при , т. е.

Специальные пределы.

1. - 1-ый замечательный предел. Первый замечательный предел можно обобщить и записать в виде:

2. = =е=2,71828…2-ой замечательный предел. Общий вид второго замечательного предела: = =е

Следствия:

, ,

, , .

При вычислении пределов следует учитывать, что:

И могут получиться неопределенности, когда ничего о значении предела сказать нельзя: ,

Примеры решения типовых задач:

Пример. Найти предел функций:

1. 

2. 

Решение.

Так как функции непрерывны, то предел функции равен значению функции в этой точке.

1. 

2. 

Пример.

Найти предел функции:

1. ,так как , а степени многочленов в числителе и знаменателе одинаковые, следовательно предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

2. ,так как , а степень многочлена в числителе больше, чем степень многочлена в знаменателе.

3. ,так как , а степень многочлена в знаменателе больше, чем степень многочлена в числителе.

Пример. Найти предел функции.

1. 

2. 

3. 

4. Следующий пример дает неопределенность поэтому число 2 является корнем многочлена, стоящего в числителе и знаменателе. Тогда эти многочлены можно разложить на множители. По формуле разности квадратов

Для разложение многочлена, стоящего в числителе на множители мы можем применить метод группировки или поделить многочлен на многочлен «в столбик».

Тогда получим

Полученная дробь уже не дает неопределенности и для вычисления ее предела мы можем подставить число 2:

Пример. Вычислить пределы:

1. 

2. предел непрерывной функции равен значению функции в этой точке.

3. предел непрерывной функции равен значению функции в этой точке.

4. 

В случае неопределенности типа нужно перейти к неопределенности типа или , для этого домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение.

5. так как степень числителя больше степени знаменателя, то по рассмотренному ранее правилу мы получаем, что предел равен бесконечности..

Пример. Вычислить пределы:

1. При подстановке значения переменно получается неопределенность типа , поэтому непосредственной подстановкой результат вычислений быть получен не может. Поэтому для его вычисления используем первый замечательный предел и следствие из него. , где , , где .

2. . При непосредственной подстановки значения переменной получается неопределенность типа . Данный предел является непосредственным первого замечательного предела, где в качестве берется функция .

3. при подстановке значения переменной получается неопределенность типа , поэтому для вычисления предела необходимы дополнительные преобразования:

4. При непосредственном вычислении получается неопределенность типа , поэтому для его вычисления мы воспользовались вторым замечательным пределом

5.