Тема: «Интегрирование функции».

Вопросы:

• Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

• Свойства интегралов.

• Основные методы интегрирования.

• Определенный интеграл.

• Приложения определенного интеграла.

В результате изучения темы слушатели должны уметь:

• Вычислять неопределенные и определенные интегралы.

• Решать задачи, сводящиеся к нахождению интеграла.

Эти вопросы рассмотрены в [1],[3],[5] и в [2],[3],[5] приведены примеры решений типовых задач.

[1] Глава 7. Неопределенный интеграл. Стр. 159-176.

Глава 8. Определенный интеграл. Стр. 177-221.

[2] Глава 6. Интегрирование. Стр.82-122.

[3] Глава 7. Неопределенный интеграл. Стр. 193-220.

Глава 8. Определенный интеграл. Стр. 221-260.

[5] Глава 9. Неопределенный интеграл. Стр. 256-295.

Глава 10. Определенный интеграл. Стр. 296-325. Понятие и основные свойства неопределенного интеграла

Часто приходится решать задачу, обратную дифференцированию: дана функция , требуется найти функцию такую, что .

Определение. Функция , называется первообразной для функции в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна т.е.: , .

Так как , отсюда дифференциал функции:

Определение. Отыскание первообразной есть операция, обратная дифференцированию и называется интегрированием.

Определение. Совокупность всех первообразных функции , определенных на некотором промежутке , называется неопределенным интегралом от функции на промежутке и обозначается:

где - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, - переменная интегрирования, С – постоянная интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. ,

2. ,

3. ,

4. , где .

Формулы интегрирования

1.

2.

3. 12. .

4. 13. .

5. 14. .

6. 15. .

16. .

17.

18.

Метод непосредственного интегрирования

Используются основные свойства определенного интеграла:

1. .

2. .

Пример. Вычислить интеграл: .

Решение.

.

Интегрирование методом замены переменной

Сущность метода: путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому, который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Пример. Вычислить интеграл: .

Решение.

.

Пример.

Решение.

Пример.

Решение.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям основано на формуле ;

Основные классы функций, для применения интегрирования по частям:

Пример.

Решение.

Пример.

Решение.

Пример.

Решение.

Часто при решении помогает такая формула:

Определенный интеграл и его приложения

Определение. Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a;b] называется сумма вида:

Определение. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: .