Тема 21. Свободные и переходные процессы в колебательном контуре

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

21.1. Какие режимы свободных колебаний могут возникать в последовательном колебательном контуре? При каких условиях они возникают? Как это связано с корнями характеристического уравнения?

21.2 Изобразите временные диаграммы свободных процессов в колебательном контуре в каждом из режимов.

21.3. Каким выражением определяется частота свободных колебаний? Как она зависит от параметров колебательного контура r, L, C?

21.4. По какому закону изменяется амплитуда свободных колебаний в контуре? Чему равен коэффициент затухания?

21.5. Как определяется декремент затухания и логарифмический декремент затухания? Как они зависят от параметров контура?

21.6. Как определяются коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания экспериментально по осциллограмме?

ЗАДАЧИ

21.1 (1 балл). Составьте дифференциальные уравнения для тока i(t) или напряжения на конденсаторе u_C(t) в выделенных жирными линиями колебательных контурах (рис.21.1 или рис. 21.2). Определите при нижеследующих данных:

L = (100 + (-1)^N2 N + 8 G) мГн,

C = (6000 - (-1) ^N 50 N + 100 G) пФ,

R = (7800 + 50 N - 18 G) Ом,

какого рода процесс протекает в свободном от источников

150

контуре путем анализа корней его характеристического уравнения. В зависимости от процесса примите следующие значения индекса J:

апериодический - J=12,

критический - J=1,

колебательный - J=-5.

Изобразите в тетради качественно (без вычислений), какой вид имеет функция i(t) или u_C(t) при заданных значениях L, C и R.

Обратитесь к схемам:

- рис.21.1 - для студентов с четными значениями N,

- рис.21.2 - для студентов с нечетными значениями N.

Определите, исходя из законов коммутации, начальные условия u_C(0) в вольтах и i_L(0) в амперах для своей цепи при

Е = (400 + (-1) ^N 5 N + 10 G) B,

R₁ = 10 + N Ом, R₂ = 50 - G Ом.

Вычислите с проверочной целью величину

B=J [u_C(0)+i_L(0)]

и внесите ее в АКОС.

Рис.21.3

Рис.21.1

151

Рис.21.2

21.2 (2 балла). Примите для цепи рис.21.1 значение сопротивления потерь равным R = ( 12 + 2 N + (-1) ^N G ) Ом при L и C, заданных в задаче 21.1. Какого рода процесс (апериодический, колебательный) будет наблюдаться в контуре (рис.21.1) после замыкания ключа К?

Напишите выражение для тока в контуре в рассматриваемом случае, подставьте в него все необходимые численные данные, исходя из заданных Вам параметров контура и ЭДС источника Е (задача 21.1). Рассчитайте и постройте по точкам кривую i(t).

Определите значение тока i(t₁) в амперах в момент времени t = ( 100 + (-1) ^N 2 N+2 G ) мкс и внесите величину i(t₁)10⁴ в АКОС для проверки.

Нанесите значения корней характеристических уравнений, полученных Вами в задачах 21.1 и 21.2, в виде точек на комплексную плоскость (рис.21.3). В какой полуплоскости и на каких полуосях расположились точки? Свяжите их расположение с характером протекающих в цепи свободных процессов.

152

21.3. (2 балла). Рассчитайте и постройте в масштабе кривую изменения напряжения на емкости u_C(t) контура (рис.21.1) по приближенной формуле

U(t)=U_C0e^-t cos(₀t),

справедливой для контуров с пренебрежимо малым значением коэффициента затухания  по сравнению с резонансной частотой контура ₀. Для исходных данных из предыдущих задач определите:

а) период затухающих свободных колебаний в контуре T = 2/₀ секунд ;

б) постоянную времени затухания амплитуды колебаний = 1/ с размерностью единица, деленная на секунду;

в) логарифмический декремент затухания колебательного процесса .

Вычислите величину, равную D = (T_C) 10¹⁰ и внесите ее в АКОС для проверки.

21.4.(2 балла). Найдите, какое число n полных колебаний напряжения на конденсаторе совершается в колебательном контуре (рис.21.1) при данных L и C из задачи 21.1 и R из задачи 21.2 от начала процесса до его практически полного затухания, когда амплитуда напряжения упадет не менее чем в 10GN раз. Ответьте на вопрос – число n с повышением добротности контура Q :

- увеличивается (J=1),

- уменьшается (J=-1)?

Вычислите величину, равную H = Jn и внесите ее для проверки в АКОС.

21.5.(2 балла). Вычислите и постройте кривую изменения напряжения на конденсаторе u_C(t) при включении источника ЭДС Е в контур (рис.21.4) посредством ключа К. Определите, какого уровня достигает напряжение на конденсаторе в максимуме и в какой момент времени это имеет место. Найдите произведение G = u( ) (вольт умножить на миллисекунду) и внесите его в АКОС. Примите при вычислениях:

153

W =( 10 + (-1)^N  G + 5 N ) крад/с,

= ( 120 - (-1) ^N  2 N ) 1/с,

E =( 1500 + (-1) ^N  20 N + 10 G ) В.

Объясните физически, за счет чего образуется выброс напряжения на конденсаторе, существенно превышающий напряжение источника Е.

21.6.(2 балла). Какой вид имеет напряжение на конденсаторе U_С(t) при включении в нулевой момент времени гармонической ЭДС e(t)=E_mcos(t) в контур рис.21.5 ( совпадает с резонансной частотой контура). Напишите выражение и изобразите графически огибающую процесса нарастания амплитуды напряжения на емкости в виде функции времени при следующих данных:

Q = ( 120 + (-1)^N N + 2 G ),

 = ( 500 + 10 N G + (-1)^N250 ) рад/с.

Рис.21.4 Рис. 21.5

Определите время t, по истечении которого амплитуда достигнет половины установившегося значения и внесите его в микросекундах в АКОС.

154