Методы проецирования

Проекции  центральные

Построение изображений в курсе начертательной геометрии основано на методе проекций (лат. "рrojectio" - бросание вперед, вдаль).

Р ассмотрение метода проекций начинают с построения проекций точки, т. к. при построении изображения любой пространственной формы рассматривается ряд точек, принадлежащих этой форме.

Задана плоскость проекций П₀, центр проекции - точка S, не лежащая в плоскости П₀.

Необходимо построить изображение точек А, В, С на плоскость П₀.

Через центр проекции точки S и эти точки проводят линии до пересечения с плоскостью П₀.

Точки пересечения A₀, B₀, C₀ являются центральными проекциями точек А, В, С на плоскость П₀, а лучи SA, SB, SC называются проецирующими прямыми.

Не изменяя положения плоскости П₀ и взяв новый центр S₁, получаем новую проекцию точки А - точку А′.

Если взять центр новый S₂ на той же проецирующей прямой SA, то проекция A₀′′ останется неизменной.

Но если иметь проекцию точки, то положение самой точки определить нельзя, необходимы дополнительные условия (смотри точки А и A₁).

То же самое относится и к проецированию линии, состоящей из ряда точек A, B, C, D.

Проведя проецирующие лучи из центра проекций S через точки A,B,C,D получаем A_0, B_0, C_0, D₀ - центральную проекцию, а по проекции A_0, B_0, C_0, D₀ нельзя представить единственное положение кривой в пространстве ABCD или A₁ B₁ C₁ D₁.

Выводы:

•  - при задании плоскости проекций центре проекций можно построить  проекцию точки, линии.

•  - нельзя определить положение точки, линии в пространстве по проекции

Проекции параллельные

Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования при бесконечном удалении центра проекции.

Даны плоскость проекции П₀ и направление проецирования S.

Для построения проекции точки А через эту точку проводится проецирующая прямая параллельная направлению проецирования S. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью П₀ определит точка A₀ - проекция точки А.

Для определения проекции отрезка прямой ВС через две ее точки В и С проводят проецирующие прямые II S и пересечение их с плоскостью П₀ определит проекцию B₀C₀.

Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В первом случае направление проецирования с плоскостью проекции составляет угол не равный 90°, во втором случае направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекции П₀ и обычно называют проекции ортогональными (от слов, которые в переводе означают ,,прямой” и ,,угол”).

Выделим свойства параллельного проецирования, первые из которых относятся и к центральному проецированию:

1. Проекцией точки является точка. 2. Проекцией прямой линии в общем случае является прямая линия. 3. Каждая точка и линия в пространстве имеет единственную проекцию на плоскость. 4. Точка пересечения прямых проецируется в точку пересечения проекций этих прямых. 5. Проекции взаимно параллельных прямых взаимно параллельны, а отношение длин отрезков таких прямых равно отношению длин их проекций. 6. Отрезок прямой линии проецируется в натуральную величину, а плоская фигура в равную ей фигуру в том случае, если они (прямая линия и фигура) параллельны плоскости проекции.  

Выдающуюся роль в развитии начертательной геометрии сыграл крупный французский геометр конца 18 и начала 19 века, инженер, общественный и государственный деятель правления Наполеона I Гаспар Монж (1746-1818 гг.)

Монж систематизировал и обобщил накопленные к тому времени практический опыт и теоретические познания в области изображения пространственных фигур на плоскости. Монж предложил рассматривать плоский чертеж, состоящий из двух проекций, как результат совмещения двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Это совмещение плоскостей проекций он достигает путем вращения вокруг прямой их пересечения, называемой осью проекции. Предложенный Монжем метод-это метод параллельного проецирования, с использованием прямоугольных проекций на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Этот метод был и остается основным методом составления технических чертежей