6. Абстракции данных

6.1 Представление рациональных чисел

Абстракция данных - достаточно популярная методология программирования.

Основная идея состоит в том, чтобы отделить способ использования данных от подробностей того, каким образом они реализованы или созданы, подобно тому, как функциональная абстракция разделяет способ применения функции и детали её реализации даже в терминах более примитивных функций.

Для достижения этой цели программы должны использовать составные данные таким способом, чтобы не делать никаких предположений о внутренней структуре этих данных, кроме тех, которые принципиально необходимы для решения задачи.

Другими словами, программы должны работать с абстрактными объектами данных.

Для этого необходимо для каждого типа данных, определить набор базовых операций, в терминах которых выражаются все операции с объектами данных этого типа. И когда программы, манипулирующие данными, станут использовать только эти операции, цель будет достигнута.

В то же время конкретное представление данных должно быть определено независимо от программ, которые используют эти данные. Подобно тому, как мы можем заменить процедуру (по-другому – алгоритм) любой другой процедурой, использующей ту же самую функцию, мы можем заменить представление объектов данных любым другим представлением, реализующим тот же самый тип данных.

Давайте рассмотрим в качестве примера набор операций с рациональными числами.

П

n₁ n₂

---  ---

d₁ d₂

редположим, что нам необходимо только складывать, вычитать, умножать, делить и сравнивать рациональные числа. Как известно, каждое рациональное число, например, r определяется парой целых чисел – числителем(n) и знаменателем(d),т.е. r = n/d, а действия с этими числами совершаемые, обычно определяются как действия с соответствующими числителями и знаменателями:

выражения числитель знаменатель

r₁ ± r₂ n₁*d₂ ± n₂*d₁ d₁*d₂

r₁ * r₂ n₁*n₂ d₁*d₂

r₁ / r₂ n₁*d₂ n₂*d₁

r₁ = r₂ iff n₁*d₂ = d₁*n₂

При реализации этих правил, абстракция рационального числа должна будет воплотится в трех функциях.

Создание каждого рационального числа будет результатом функциии-конструктора (make-rat n d), а чтобы иметь доступ отдельно к числителю и знаменателю рационального числа r должны быть функции-селекторы для числителя (числитель r) и знаменателя (знаменатель r).

Теперь в терминах этих функций мы можем определить основные операции арифметики рациональных чисел, например, так:

> (define (add-rat r1 r2)

(make-rat (+ (* (числитель r1)(знаменатель r2))

(* (числитель r2)(знаменатель r1)))

(* (знаменатель r1)(знаменатель r2))))

> (define (sub-rat r1 r2)

(make-rat (- (* (числитель r1)(знаменатель r2))

(* (числитель r2)(знаменатель r1)))

(* (знаменатель r1)(знаменатель r2))))

> (define (mul-rat r1 r2)

(make-rat (* (числитель r1)(числитель r2))

(* (знаменатель r1)(знаменатель r2))))

> (define (div-rat r1 r2)

(make-rat (* (числитель r1)(знаменатель r2))

(* (числитель r2)(знаменатель r1))))

> (define (eq-rat? r1 r2)

(= (* (числитель r1)(знаменатель r2))

(* (числитель r2)(знаменатель r1))))

Для изучения получаемых чисел можно добавить функцию вывода.

> (define (display-rat r)

(display '=)

(display (числитель r))(display '/)(display (знаменатель r))

(newline))