Случайная величина с логнормальным распределением

Плотность вероятности СВ с логнормальным распределением имеет вид:

. (18)

Здесь параметры и равны среднему и дисперсии . При этом математическое ожидание и дисперсия равны

, .

Если имеет нормальное распределение с параметрами и , то СВ

имеет логнормальное распределение с параметрами , средним и дисперсией .

Таким образом, моделирование СВ с логнормальным распределением можно свести к моделированию гауссовской СВ с , и последующему преобразованию

.

При этом , . Если заданы среднее и дисперсия СВ с логнормальным распределением, то ее значение можно найти с помощью линейного преобразования

. (19)

Моделирование n-мерной случайной величины

Рассмотрим непрерывную n-мерную СВ с совместной плотностью вероятности

Для ее моделирования сначала разыгрывают значение СВ . Это значение берется в качестве аргумента условной плотности вероятности , и разыгрывается значение СВ . Значения берутся в качестве аргументов условной плотности вероятности и т. д.

Лабораторное задание

1. Реализовать на ЭВМ алгоритм моделирования СВ с заданной плотностью вероятности. Параметры распределений задать самостоятельно. Величину константы определить из условия нормировки.

2. Получить выборку размером и построить по ней гистограмму, найти оценки среднего и дисперсии СВ, сравнить их с точными значениями. Определить величину относительной среднеквадратической погрешности полученных оценок.

3. В заданиях, где это указано, по критерию согласия Пирсона (см. приложение 4) определить меру отклонения исходной плотности вероятности и полученной гистограммы.

4. Оформить в электронном виде отчет по результатам лабораторной работы, включив в него: цель работы, алгоритм моделирования заданной СВ и результаты расчетов. Также отчет должен содержать обсуждение полученных результатов.

Варианты заданий для лабораторной работы 2

1. СВ с логнормальной плотностью вероятности (18). Выполнить задание 3.

2. Реализовать три алгоритма моделирования гауссовской СВ и по критерию согласия Пирсона сравнить их эффективность.

3. Пуассоновская СВ (14). Выполнить задание 3.

4. СВ с биномиальным распределением вероятностей:

,

где – число сочетаний из по ; , . Выполнить задание 3. При моделировании СВ учесть, что биномиальное распределение является моделью случайных экспериментов, состоящих из независимых однородных испытаний, в каждом из которых вероятность положительного исхода равна .

5. СВ с плотностью вероятности:

Выполнить задание 3.

6. СВ с плотностью вероятности:

Выполнить задание 3.

7. СВ с плотностью вероятности (распределение Лапласа или двойное экспоненциальное распределение):

Выполнить задание 3.

8. СВ с плотностью вероятности:

где , – параметры распределения. Выполнить задание 3.

9. СВ с плотностью вероятности (распределение Коши):

,

где − параметры распределения. Выполнить задание 3.

10. СВ с плотностью вероятности (распределение Максвелла):

,

где − параметр распределения. Выполнить задание 3.

11. СВ , где и независимые случайные величины. СВ имеет распределение Релея:

где параметр распределения. СВ имеет равномерное распределение на интервале . Для релеевского распределения выполнить задание 3.

12. Случайная величина , где и независимые гауссовские СВ с различными параметрами.

13. Случайная величина , где и независимые гауссовские СВ с различными параметрами.

14. Случайная величина , где и независимые релеевские СВ с различными параметрами (см. вариант 11).

15. Случайная величина , где независимые случайные величины с равномерным распределение в интервале . При различных значениях параметра по критерию согласия Пирсона (см. приложение 4) определить степень отклонения полученной гистограммы СВ  от гауссовской плотности вероятности.

Указания. При вычислении среднего и дисперсии СВ можно воспользоваться формулами:

,

.

Также следует учитывать, что для независимых случайных величин и выполняются следующие соотношения:

,

,

,

.