Опорний конспект лекцій з математичного аналізу для студентів І курсу

(напрям підготовки фізика)

фізико-математичного інституту НПУ імені М. П. Драгоманова

Укладач: доц. Залізко В. Д.

Ухвалив: завідувач кафедри математичного аналізу проф. Торбін Г. М.

Лекція № 2 Тема: Множина дійсних чисел План

• Розширити знання про дійсні числа

• Розглянути числові множини та їхні межі

• Навести аксіоми дійсних чисел

• Розглянути модуль числа

На минулій лекції ми вивчили множини елементи, яких мають різну природу. Чи правильне твердження, що усі множини однаково цікаві для математичного аналізу? ______________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

Як відомо з шкільного курсу математики ( тут і надалі ШКМ) дійсні числа складаються з натуральних, цілих, раціональних та ірраціональних чисел.

Нагадаємо, що натуральні числа це 1,2,3,…n – числа які використовуються при лічбі. Цілі числа – це натуральні, їм протилежні і нуль.

Раціональні – числа які можна записати у вигляді нескоротного дробу , де m ∈ Z, n ∈ Т. Також можна їх однозначно записати у вигляді нескінченого, періодичного, десяткового дробу: q=m, α_1, α₂ … α_k, де m ∈ Z, α_k ∈

Множення раціональних чисел позначається Q.

Ірраціональними називаються числа які можна записати у вигляді нескінченого, неперіодичного, десяткового дробу (або ж що те саме – це числа, які не є раціональними). Приставка „ir”в латинській мові означає заперечення.

Наприклад = 1,4142143…

π = 3,141592…

e = 2,72…

Отже ми можемо ввести в розгляд відповідні числові множини, які для зручності будемо виділяти напівжирним шрифтом:

1. множина натуральних чисел N :={1,2,3…},

2. множина цілих чисел Z:={…-2,-1,0,1,2…},

3. множина раціональних чисел Q:=________________________

4. множина ірраціональних чисел I:=________________________

5. всі наведені вище числові множини утворюють множину дійсних чисел R:= Q ⋃ I.

Чи правильно, що Q ∩ I = ⌀? _______________________________________________________________________________________________________

Означення 11.Довільна підмножина M ⊂ R буде називатися числовою множиною.

Приклад 3. Встановіть співвідношення між множинами

1. N___Q, I___R,

2. Q___Z, I___Ø,

3. N___I , R___ Z,

4. N___Z ___ Q ___ R.

Розвязання.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

У зв’язку з тим, що посібник передбачений для студентів-фізиків в ньому не буде представлено строгих доведень з теорії дійсних чисел, з якими можна ознайомитись у класичних підручниках математичного аналізу Г. Фіхтенгольця та Л. Кудрявцева.

Окрім згаданих вище множин N ⊂ Z ⊂ Q , I , R, Ø вважливими є числові проміжки

[a;b] – відрізок,

[a; b) – пів відрізок,

(а;b) – інтервал,

(а; b] – пів інтервал,

<a; b> – проміжок,

де а, b ∈ R, a < b

Роз`ляснемо для прикладу означення множин [a; b) і (-∞; b)

[a; b) = { x ∈ R ; a ≤ x < b} ;

(-∞; b) = {x ∈ R ; x < b}

Існує загальне позначення для будь-якого числового проміжку

<a; b>, де -∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞

Для зручності дійсні числа можна зобразити точками на числовій прямій, зазвичай на вісі абсцис Ох.

Числові множини також зображаються у вигляді підмножини числової прямої Ох.

Множину дійсних чисел і числову пряму часто ототожнюють, називаючи числа точками і навпаки. Позначають через вісь абсцис Ох = R.

Довільні два дійсних числа a, b можна порівняти між собою, тобто з`ясувати, чи a = b, a < b, ≤ b < a. Із ШКМ відомо основні правила порівняння раціональних чисел ____________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

Задамо відношення <, ≤ , > для числових множин.

Означення 12. Нехай A, B – не порожні числові множини. Будемо вважити, що A < B, якщо a < b: ∀a ∈ A і ∀ b < B Аналогічно визначаються співвідношення A ≤ B і A > B.

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________Зокрема, коли множина B = {b} – одно точкова, то множина А буде порівнюватися з числами b, тобто може бути

A < b, A ≤ b чи A > b.

Наприклад: 1) якщо A = (-5;0], B = {1/n: n є N}, то справедливі наступні співвідношення

A < B, A ≤ 0, A > -5, 0 < B ≤ 1.

2) Якщо A = {2, 4, 6…, 2n, …} – усі парні числа, B = {1, 3, 5…}- усі непарні числа, то про ці множини можна сказати, що вони не порівнювані, тобто

A ≮ B, A ≯B, A ≠ B.

Наведіть дві пари не порівнюваних множин ______________________________________________________________

Приклад 4. Порівняйте, якщо це можливо наступні множини

А - множину парних чисел,

В - множину чисел, які діляться на 4,

С - множину чисел, які є розв’язками рівняння

Розв’язання

______________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

Приклад 5. Доведіть, що числа ірраціональні.

Розв’язання

______________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

Проблемами підтвердження неперервності числової прямої займався відомий німецький математик Г. Кантор, який сформулював аксіому.

Аксіома кантора. Нехай дано послідовність вкладених відрізків, які лежать на одній прямій, тоді якщо довжина найменшого відрізка (який міститься в середині всіх інших) прямує до нуля, за умови що кількість відрізків прямує до нескінченності, то завжди існуватиме деяка точка, яка буде спільною для всієї сукупності відрізків.

Геометрично ця аксіома є відносно простою, але математичне доведення її досить громіздке

_____________________________________________________________________________________________________

Отже, якщо на множині дійсних чисел R задано дві основні операції (+ і *) та співвідношення « < », то будуть виконуються такі основні властивості (аксіоми дійсних чисел)