Временные параметры событий

Каждое событие i проекта P (вершина i на сетевом графике) имеет набор всех предшествующих этому событию работ и набор всех последующих за этим событием работ. Если рассмотреть эти множества работ как самостоятельные проекты, то как бы получаются предшествующий проект и последующий проект .

Рис. 12.

1 – начало проекта P. i – событие проекта Р. N – конец проекта Р. P' – предшествующие работы. P" – последующие работы

Для событие i является концом проекта, а для – началом проекта. Другие работы исходного проекта, не входящие ни в , ни в , являются независимыми от события i .

Проекты и имеют свои критические времена и , равные численно длинам максимальных путей, соответственно из в и из в N - конец исходного проекта. Но эти длины равны потенциалам , , рассчитанным, соответственно, с начала и конца проекта. Получаем, что

, .

Значение показывает согласно определению критического времени и проекта , какое наименьшее время требуется для выполнения , т.е. до наступления события i .

Значение показывает, какое наименьшее время требуется для выполнения проекта после наступления события i .

Определение. Ранним сроком события i называется наименьшее время после начала проекта, через которое событие i может наступить. 

Этот параметр как раз равен наименьшему времени, необходимому для завершения предшествующих работ, т.е.

,

где – потенциалы, рассчитанные с начала.

В частности, всегда , . Ранние сроки не зависят от , т.е. они являются "внутренними" параметрами проекта.

Определение. Поздним сроком события i называется наибольшее время (после начала проекта), через которое событие не должно наступить (иначе сорвётся проектное время). 

Проект необходимо завершить к моменту , а минимальное время для вычисления следующих за событием работ равно , поэтому

,

где – потенциалы, рассчитанные с конца.

В частности, всегда , . Очевидно (докажите это!), что . Поздние сроки являются "внешними" параметрами, т.к. зависят от .

Определение. Резервом события i называется разность его позднего и раннего сроков. 

Для событий, лежащих на критическом пути, резерв равен разности , для остальных событий – больше этой разности.

Приведём все временные параметры событий в примере 1.

Параметры событий Таблица 5.

i
1 2 3 4 5 6 7	0 13 12 12 14 17 22	3 19 15 15 20 22 25	3 6 3 3 6 5 3

Временные параметры работ.

В отличие от событий, работа имеет протяжённость, т.е. связана с двумя событиями – своими началом и концом. Каждое из этих событий имеет два срока, поэтому у работы появляются 4 временных параметра по моменту начала и конца и 4 вида резервов. Полезна следующая схема

Определение. Ранним началом работы ( i, j ) называется наименьшее время после начала проекта, через которое работу можно начать выполнять. 

Очевидно, работу можно начать, как только закончатся предшествующие работы, т.е. когда наступит событие i – событие начала. Отсюда

.

Определение. Ранним окончанием работы ( i, j ) называется наименьшее время после начала проекта, через которое работу можно закончить. 

Работу можно рано закончить, если её рано начать, поэтому

,

где – время работы.

В общем случае , но для некоторых работ эти параметры совпадают.

Определение. Поздним окончанием работы ( i, j ) называется наибольшее время после начала проекта, позже которого работу нельзя закончить (иначе сорвётся проектное время ). 

Событие j как раз означает окончание работ, заканчивающихся в j, в том числе работы ( i, j ), поэтому

.

Определение. Поздним началом работы ( i, j ) называется наибольшее время после начала проекта, позже которого работу нельзя начать (иначе сорвётся проектное время). 

Если работа поздно начинается, то она и поздно заканчивается, поэтому

.

Позднее начало и окончание – "внешние" параметры, зависящие от .

Следующие определения резервов работ взяты из [1].

Определение. Полным резервом называется наибольшее время, на которое можно увеличить время работы (т.е. это прибавка по времени, запас), если предшествующие для ( i, j ) работы начинаются в ранние сроки, а последующие за ( i, j ) – в поздние сроки. 

Другими словами, полный резерв это запас времени в самом "благоприятном" для работы случае, когда предшествующие рано заканчиваются и дают работе возможность для раннего начала, а последующие поздно начинаются и дают работе возможность для позднего окончания. Коротко: "до нас – рано, после нас – поздно".

Несложно получить, что (см. схему)

,

Полезны также формулы

.

.

Полный резерв – "внешний" параметр.

Критические работы полностью определяются через значения полных резервов. Работа ( i, j ) является критической тогда и только тогда, когда

.

В случае, когда проектное время совпадает с критическим, т.е. когда проект вовсе не имеет резерва, резервы критических работ равны нулю, что и оправдывает название "критические".

Определение. Свободным резервом работы ( i, j ) называется наибольшее время, на которое можно увеличить время работы, если предшествующие и последующие работы начинаются в свои ранние сроки. 

Коротко: "до нас и после нас рано".

Свободный резерв полностью определяется ранними сроками событий, не зависит от (это один из "внутренних" параметров проекта). Несложно получить (см. схему).

, ,

.

Определение. Частным резервом второго рода работы ( i, j ) называется наибольшее время, на которое можно увеличить время работы, если предшествующие и последующие работы начинаются в свои поздние сроки. 

Коротко: "До нас и после нас поздно".

, ,

.

Резерв второго рода – "внутренний" параметр (докажите это!).

Определение. Частным резервом первого рода работы ( i, j ) называется наибольшее время, на которое можно увеличить время работы, если предшествующие начинаются и заканчиваются в поздние сроки, а последующие – в ранние сроки. 

Коротко: "до нас поздно, после нас рано".

.

Условия в определении этого резерва часто не выполняются, так как в случае, когда предшествующие работы заканчивались поздно, следующие за ( i, j ) могут уже не иметь возможности начинаться рано. Формально в этом случае частный резерв первого рода является отрицательным и показывает не запас, а нехватку времени для работы. В литературе встречается формула

.

В любом случае справедливы соотношения

, ,

т.е. наименьший среди резервов.

Частный резерв первого рода – "внешний" параметр.

Из расчётных формул для резервов можно получить полезное соотношение

,

позволяющее вычислить любой из резервов, если остальные три известны. Приведём полную таблицу параметров работ в примере 1.

Временные параметры работ Таблица 6.

Работа	Обознач.	Время
B	( 1, 2 )	13		0	13	19	6		6	0	3	-3
D	( 1, 3 )	12		0	12	15	3		3	0	0	-3
H	( 1, 4 )	6		0	6	15	9		9	6	6	3
F	( 2, 5 )	1		13	14	20	19		6	0	0	-6
I	( 2, 7 )	5		13	18	25	20		7	0	1	-6
G	( 3, 6 )	5		12	17	22	17		5	0	2	-3
C	( 4, 7 )	10		12	22	25	15		3	0	0	-3
A	( 5, 6 )	2		14	16	22	20		6	1	0	-5
E	( 6, 7 )	3		17	20	25	22		5	2	0	-3