1.4. Графический расчёт простейших нелинейных цепей

Определение. Если все элементы в цепи линейные, то цепь называется линейной. Если же цепь содержит хотя бы один НЭ, то – нелинейной.

Только линейные цепи описываются системой уравнений Кирхгофа. Расчёт нелинейных цепей проводят, как правило, графически. Для этого должны быть известны вольт-амперные характеристики входящих в схему нелинейных элементов.

Рассмотрим два базовых фрагмента, являющихся ячейками многих сложных нелинейных цепей: а) два последовательно соединённых НЭ; б) два параллельно соединённых НЭ. По известным ВАХ отдельных элементов требуется построить вольтамперную характеристику их цепочки.

На рис. 3 изображена последовательная цепочка двух НЭ и их заданные ВАХ i₁(u) и i₂(u). Результирующая ВАХ i(u) графически строится так.

При последовательном соединении двух элементов напряжения на них складываются, а ток – общий, т.е. и=и₁+и₂, i₁=i₂=i. Значит, для получения искомого графика i(u) надо графики i₁(u) и i₂(u) «сложить по горизонтали». На рис. 3 эта операция графического сложения подробно показана для некоторого фиксированного тока i₀.

При параллельном соединении двух нелинейных элементов общим для них является напряжение, а ток через их цепочку равен сумме токов в ветвях: и₁=и₂=и₀, i=i₁+i₂. Следовательно, для получения результирующей ВАХ i(u) параллельной цепочки надо графики i₁(u) и i₂(u) «сложить по вертикали». На рис. 4 эта операция подробно показана для некоторого фиксированного напряжения и₀.

Замечание. Из рисунков 3 и 4 видно, что как параллельное, так и последовательное соединение двух НЭ с вольт-амперными характеристиками типов (1) и (6) на рис. 2 заметно линеаризуют результирующую ВАХ.

1.5. Стабилизатор напряжения

Для нормальной работы многих приборов, устройств или их отдельных узлов требуется высокий уровень стабильности напряжения. Нестабильность напряжения в промышленной сети ΔU/U часто превышает 10%, и если не принять специальных мер, то и на элементах приборов, питающихся от сети, нестабильность напряжения будет того же порядка, что в большинстве случаев совершенно недопустимо.

Э лектронные устройства, дающие на выходе относительно стабильное напряжение при нестабильном входном, называются стабилизаторами напряжения. Простейшим стабилизатором напряжения является последовательная цепочка, состоящая из одного линейного элемента – резистора, и одного нелинейного – стабилитрона. Схема такого стабилизатора показана на рис. 5, где обозначено:

R – балластный резистор,

Ст – нелинейный элемент (стабилитрон),

R_н – нагрузка, на которой требуется поддерживать стабильное напряжение,

u_R и i_R – напряжение и ток на балластном резисторе,

и и i – напряжение и ток на стабилитроне (и_вых=и).

Проанализируем работу такого стабилизатора и сделаем его расчёт в режиме холостого хода, т.е. когда R_н много больше статического сопротивления стабилитрона^).

Пусть заданы входное напряжение и_вх=20 В и его нестабильность Δи_вх=8 В, т.е. и_вх=20±4 В. Пусть дан стабилитрон с рабочим напряжением и_ст=12 В и средним рабочим током i_ст=20 мА^*). Очевидно, что в режиме холостого хода i=i_R. Требуется рассчитать величину балластного сопротивления R и выходную нестабильность Δи_вых. Этот расчёт можно выполнить двумя графическими методами.

Метод 1. На рис. 6 показаны три вольт-амперные характеристики: L₁ – ВАХ стабилитрона, имеющая почти вертикальный участок, L₂ – ВАХ линейного резистора R, L₃ –результирующая ВАХ их последовательной цепи.

Расчёт стабилизатора выполняется так. Сначала определим сопротивление R. Для этого проводим горизонталь на уровне рабочего тока i=i_ст; на её пересечении с вертикалью и=и_вх получаем точку А – точку на результирующей ВАХ. Так как u_R=u_вх−и_вых, то, вычтя графически и_А−и_В, получим точку С – точку на ВАХ резистора. Соединив её прямой с началом 0, получим саму вольт-амперную характеристику L₂ резистора. Тогда искомое сопротивление R=u_R/i_ст. Из графика L₂ имеем: R=(8 В):(0,02 А)=400 Ом.

Теперь определим выходную нестабильность Δи_вых. Для этого выделим полосу Δи_вх.вертикалями (и_вх± Δи_вх/2)=20±4 В. Точки их пересечения с ВАХ L₃ дают нестабильность тока в цепи Δi. По ВАХ L₁ определяем нестабильность выходного напряжения Δи_вых. Из рис. 6 видно, что Δи_вых≈1 В, т.е. и_вых=12±0,5 В. Почти всю нестабильность входного напряжения берёт на себя балластный резистор R: Δи_R≈7 В.

Эффективность стабилизации характеризуется коэффициентом стабилизации k_ст, показывающим, во сколько раз относительная нестабильность на входе больше, чем на выходе:

k_ст= . (1)

Чем круче рабочий участок ВАХ стабилитрона L₁, тем больше коэффициент стабилизации. В нашем случае k_ст=(8/20)/(1/12)≈5^).

Метод 2. При расчёте стабилизатора этим методом нет надобности строить результирующую ВАХ. Искомые величины R и Δи_вых при тех же заданных и_вх, Δи_вх, и_ст и i_ст определяются следующим образом.

Строится ВАХ стабилитрона i(и) (рис. 7). Затем из очевидного соотношения и_вх=iR+и выражается функциональная зависимость тока в цепи от напряжения на стабилитроне:

. (2)

График функции (2) есть прямая с отрицательным наклоном, пересекающая ось абсцисс в точке и_вх (точка А на рис. 7). Точка пересечения этой прямой с ВАХ стабилитрона (точка В) является графическим решением системы уравнений (2) и ВАХ i(и), зависящим от сопротивления R. Это R определяется из условия, что в точке В: i=i_ст, и=и_ст. Подставляя это в (2), получаем:

Ом. (3)

Из (2) также следует, что при изменении входного напряжения эта прямая смещается параллельно самой себе. На рис. 7 параллельно АВ проведены две прямые, соответствующие и_вх=20-4=16 В и и_вх=20+4=24 В. Точки их пересечения с ВАХ стабилитрона i(и) и определяют искомую нестабильность Δи_вых. Видно, что она получается такой же, как и в Методе 1.