Цепь постоянного тока

Целью работы является освоение методов расчета сложных цепей постоянного тока и экспериментальная проверка правил Кирхгофа.

1. Методы расчёта цепей

1.1. Правила Кирхгофа

Правила Кирхгофа являются основными соотношениями, на которых базируются расчёты сложных электрических цепей.

П усть имеется разветвлённая сеть проводов, на различных участках которой находятся генераторы постоянного напряжения и резисторы с известными ЭДС _k и сопротивлениями R_k (k=1,2,3,…).Такая сеть называется цепью постоянного тока (рис. 1). Ставится задача: рассчитать токи на каждом участке этой цепи^). Такую задачу можно решить с помощью двух правил Кирхгофа.

Первое привило относится к узлам цепи и утверждает следующее: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, т.е.

=0. (1)

При этом токам, «входящим в узел», условно приписывается знак «+», а «выходящим» − знак «−». Это правило означает то, что заряды в узле не накапливаются: «сколько входит, столько и выходит»; оно следует из закона сохранения электрического заряда.

Второе правило Кирхгофа относится к любому выделенному в цепи контуру и утверждает следующее: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах произвольного контура (кроме генераторов) равна алгебраической сумме ЭДС генераторов, встречающихся в этом контуре, т.е.

_k. (2)

Напряжение и_k=i_kR_k на элементе R_k считается положительным, если выбранное направление обхода данного контура совпадает с выбранной стрелкой тока через данный элемент; ЭДС _k считается положительной, если выбранное направление обхода контура совпадает со стрелкой ЭДС данного генератора. Это правило следует из основного свойства электростатического поля: циркуляция электростатического поля по любому контуру равна нулю.

Правила Кирхгофа (1) и (2) позволяют написать полную систему линейных алгебраических уравнений, из которой можно однозначно определить токи на всех участках цепи. Практически последовательность составления таких уравнений следующая.

1. На всех участках цепи указать стрелками «направления» токов (стрелки токов наносятся прямо на линию провода). Вообще говоря, стрелки токов можно наносить как попало, их нет нужды угадывать. А вот знаки слагаемых в уравнениях Кирхгофа пишутся уже строго под выбранные стрелки. И если в результате вычислений окажется, что какой-либо ток i_k<0, то он и будет отрицательным по отношению к данной стрелке.

Замечание. Ток – это не вектор, а алгебраический скаляр. Стрелка же тока указывает лишь условно положительное направление его вычисления.

2. Выбрав контур, обходить его в определённом направлении, например, по часовой стрелке. Если очередная стрелка тока i_k при обходе совпадает с этим направлением, то соответствующее слагаемое в левой сумме (2) пишется со знаком «+», т.е. «+i_kR_k», а иначе – «−i_kR_k». Аналогичное правило знаков применяется и для стрелок ЭДС _k в правой части (2).

3. Если цепь содержит N узлов, то независимых уравнений типа (1) будет (N−1). Уравнения типа (2) должны учитывать все независимые контуры цепи, т.е. такие, которые нельзя образовать наложением друг на друга контуров, уже вошедших в уравнения (2). В качестве независимых удобно выбирать «простые» контуры, т.е. не содержащие в себе других контуров.

П ример. Найти токи через резисторы R₁, R₂ и R₃ в цепи, показанной на рис. 2, если все _k и R_k известны.

Решение. Расставляем произвольно стрелки токов i₁, i₂ и i₃ на всех участках. Так как независимый узел только один, то и уравнений типа (1) также будет одно:

i₁+i₂−i₃=0.

Из трёх возможных контуров (I, II и III) ,берём, например, I и II; контур III зависим, так как он образуется наложением I и II. Задаём в этих контурах произвольные направления обходов, например, по часовой стрелке, и записываем для них уравнения типа (2) с учётом правила знаков:

i₁R₁−i₂R₂=₁−₂,

i₂R₂+i₃R₃=₂−₃.

Таким образом, имеем систему трёх уравнений для трёх искомых токов. Знаки полученных токов покажут, совпадают ли они с выбранными на рис. 2 стрелками, или противоположны им.

Замечание. Поскольку в собранной схеме мы измеряем вольтметром не ЭДС генератора , а его выходное напряжение и_вых, то вместо _k в правых частях уравнений (2) следует записывать именно (и_вых)_k.

Для достаточно сложных цепей правила Кирхгофа приводят к слишком большим системам уравнений. В связи с этим, были разработаны более эффективные методы расчёта цепей, которые хотя и базируются на правилах Кирхгофа, но дают значительно меньшее число уравнений. К таким методам относятся метод узловых потенциалов и метод контурных токов.