2. Вольт-амперная характеристика

ВАКУУМНОГО ДИОДА

2.1. Плоский диод

Рассмотрим простейшую модель вакуумного диода, когда два его электрода – катод и анод – являются парой параллельных плоскостей, находящихся на расстоянии d друг от друга. катод подогревается и с него происходит эмиссия электронов (термоэлектронная эмиссия).

Пусть U_а – потенциал анода относительно катода. В плоской модели диода потенциал U в каждой точке межэлектродного пространства будет функцией координаты х, направленной от катода к аноду, причём U(0)=U_к=0, U(d)=U_а.

Поставим задачу: определить аналитический вид вольт-амперной характеристики (ВАХ) I(U_a) плоского вакуумного диода. Для упрощения задачи будем предполагать, что выполнены следующие два условия.

Условие 1: эмиссионная способность катода неограниченно велика, так что при не слишком большом потенциале анода U_а испущенные катодом электроны не успевают все «подбираться» анодом и часть их возвращается на катод; тогда вблизи катода постоянно будет существовать электронное облако – отрицательный объёмный заряд; в этом случае говорят, что диод работает в режиме объёмного заряда.

Условие 2: начальные скорости испущенных катодом электронов нулевые, т.е. υ│_х=0=0.

Для решения поставленной задачи сначала составим уравнение, описывающее распределение потенциала U(х) вдоль оси х между катодом и анодом. Исходным для этого являются три фундаментальных соотношения:

1) уравнение Пуассона для межэлектродного пространства с объёмным отрицательным зарядом ρ (ρ<0):

diυ gradU=ΔU=ρ/ε₀,

которое для одномерного варианта задачи принимает вид:

Δ_хU= , (1)

здесь ε₀ – электрическая постоянная;

2) определение плотности тока j (между анодом и катодом):

j=neυ=ρυ, (2)

где п – концентрация электронов в потоке «катод-анод»;

3) закон сохранения энергии электрона (при условии υ│_х=0=0):

,

где υ – скорость электрона в точке пространства с потенциалом U; отсюда следует, что

υ= . (3)

Подставляя скорость υ (3) в (2), а плотность ρ из (2) в (1), получаем искомое уравнение для распределения потенциала U(х):

, (4)

где , .

Запишем теперь необходимые для решения этого уравнения граничные условия для потенциала U:

1) U(0)=U_к=0 (по условию задачи);

2) U(d)=U_a (потенциал анода задан);

3) =U'(0)=0.

Последнее граничное условие требует пояснения. Оно означает, что вблизи катода поле Е_х=− =0. Покажем, что в режиме объёмного заряда это так. Пусть сначала катод холодный и эмиссии нет. Тогда вблизи катода >0. Распределение потенциала между катодом и анодом изобразится линией 1 (прямой), показанной на рис. рис. 1.

П ри разогреве катода он начинает испускать электроны, в пространстве образуется отрицательный объёмный заряд ρ и линия U(х) начинает «провисать» (кривая 2 на рис. 1). А так как по-прежнему >0, то при достаточно большой эмиссионной способности (Условие 1) катод будет давать ещё больше электронов и «провисание» увеличится. Однако кривая U(х) не может «провиснуть» ниже оси х, например, до формы 4 (рис. 1). Действительно, в этом случае dU/dx вблизи катода станет меньше нуля. А так как dU/dx=−Е_х, то вблизи катода появится тормозящее поле, и при условии (υ)_х=0=0 (Условие 2) эмиссия прекратится. Следовательно, равновесным распределением потенциала U(х) будет такое, при котором вблизи катода (dU/dx)_х=0=0 (кривая 3 на рис. 1).

Теперь найдём решение нелинейного уравнения (4). При граничных условиях U(0)=0 и U'(0)=0 оно легко интегрируется, так как домножение его слева и справа на 2U'_х приводит к разделению переменных U и х. Но его решение можно найти и более коротким путём, если сразу искать его в виде степенной функции (такая интуиция приходит с опытом):

U=Ах^α, (5)

где А и α – пока неизвестные числа. Для их определения подставим (5) в (4) и приравняем показатели и коэффициенты при х:

Аα(α−1)х^α−2=рА^−1/2х^−α/2.

Это даёт: α=4/3, А= . Таким образом, уравнению (4) удовлетворяет функция

. (6)

Легко видеть, что эта функция удовлетворяет и граничным условиям − первому и третьему. Второе же граничное условие позволяет найти плотность тока j: подставляя в (6) выражение для коэффициента р и полагая, что при х=d потенциал U=U_а, получаем:

U_а= , (7)

откуда

. (8)

Если площадь катода равна S, то ток диода

I=kU_a^3/2, (9)

где .

Это и есть вольт-амперная характеристика плоского вакуумного диода, работающего в режиме объёмного заряда. Видно, что она нелинейна, т.е. не подчиняется закону Ома. Формула (9) получила название закона «трёх вторых».

Если подставить j из (8) в (7), то получим и равновесное распределение потенциала U вдоль прямой катод-анод:

U=U_a .

Видно, что оно удовлетворяет всем трём граничным условиям, и ему соответствует кривая 3 на рис. 1.

Е сли потенциал анода увеличить настолько, что он превысит эмиссионную способность катода, т.е. анод будет успевать подбирать все электроны, испущенные катодом, и объёмный заряд в межэлектродном пространстве образовываться не будет, то в диоде наступит режим насыщения, когда анодный ток больше не растёт с ростом U_а. Ток насыщения I_нас определяется пределом эмиссионной способности катода, которая очень сильно зависит от температуры катода и его материала.

Общий вид ВАХ вакуумного диода показан на рис. 2.