2. Оценки точности мостовых измерений

2.1. Мост постоянного тока

Оценим точность измерения сопротивления R_х мостом постоянного тока. Мостовой метод является методом сравнения, или нулевым методом. Гальванометр здесь используется лишь как индикатор отсутствия тока (индикатор нуля), поэтому точность измерения определяется только точностью, с которой изготовлены эталонные резисторы, и пороговой чувствительностью гальванометра.

Примем для простоты, что R₁=R₂=R (рис. 1), а сопротивление гальванометра невелико по сравнению с R, R₀ и R_x. Тогда несложно показать, что ток в диагонали АВ

, (4)

где U – приложенное к мосту постоянное напряжение от генератора, А так как вблизи баланса R₀≈R_x, то можно записать:

,

где ΔR_x=R₀−R_x – абсолютное, а δ=ΔR_x/R_x – относительное отклонение R_x от R₀ при малом разбалансе. Пусть I_m – минимальный рзбалансный ток, ещё регистрируемый гальванометром G (порог чувствительности), тогда относительная погрешность определения R_х

δ= . (5)

Пусть R_x≈500 Ом, I_m=1 мкА, U=2 В. Тогда δ≈0,1 %. Это очень высокая точность, с которой изготавливаются только эталонные резисторы. А поскольку используемые в мосте резисторы R₁ и R₂ таковыми не являются и их точность составляет около 1%, то и R_x будет измерен примерно с такой же точностью. Если R_x≫R, то для сохранения точности определения R_x надо, как видно из (5), увеличивать подаваемое на мост напряжение U.

2.2. Мост переменного тока

Поскольку чувствительные гальванометры – это приборы магнитоэлектрической системы, регистрирующие только постоянный ток, то при измерениях С_х и L_х в диагональ моста АВ надо ставить индикатор переменного напряжения или тока; обычно это осциллограф. Его входное сопротивление очень велико – около 1 МОм, так что он фактически размыкает диагональ АВ и регистрирует не ток, а именно напряжение U_АВ (рис. 2), которое при балансе моста должно быть равно нулю. Оценим точность измерения того же сопротивления R_х на переменном токе.

При R₁=R₂=R и разомкнутой диагонали АВ

, (6)

где U – амплитуда приложенного к мосту синусоидального напряжения. А так как вблизи баланса R₀≈R_x, то

,

где, как и в разделе 2.1, ΔR_x=R₀−R_x – абсолютное, а δ=ΔR_x/R_x – относительное отклонение R_x от R₀ при малом разбалансе. Пусть U_m – порог чувствительности осциллографа. Тогда относительная погрешность определения R_х на переменном токе

δ= . (7)

Легко показать, что функция δ(R_х) имеет минимум при R_х=R:

,

т.е. сопротивление R_х измеряется наиболее точно, когда оно несильно отличается от R.

Пусть U_m=0,005 В, U=2 В; тогда δ_min=1%. Таким образом, наивысшая точность измерения R_х здесь, по крайней мере, на порядок хуже, чем на постоянном токе с использованием гальванометра с I_m=1 мкА.

Формулу (7) можно использовать и для оценок точности измерений мостом С_х и L_x, полагая в ней R_x=1/(ωC_x) или R_x=ωL_x. В последнем случае, правда, оценка будет более грубой, так как полное сопротивление левого верхнего плеча моста (рис.4) уже не равно R, а правого нижнего – не равно ωL_х.