5.3. Расчёт значений средних теплоёмкостей

Рассчитать значение средней удельной теплоёмкости в некотором заданном интервале температур от t₁ до t₂ С можно как по таблицам средних теплоёмкостей, так и по эмпирической формуле для истинной теплоёмкости.

Расчёт по таблицам ведётся на базе формулы определения средней теплоёмкости (9.2):

, (9)

где – средняя удельная теплоемкость в интервале температур от t₁ до t₂, Дж/(кг · К).

При этом значение теплоты q, которую необходимо подвести к 1 кг вещества чтобы нагреть его от t₁ до t₂ С, определяется как разность двух теплот: теплоты , которая затрачивается на нагрев от 0 до t₂ С и теплоты , которая затрачивается на нагрев от 0 до t₁ С:

, Дж/кг. (10)

Для вычисления и в таблицах выбираем значение средней теплоёмкости при температуре t₂ – это средняя теплоёмкость в интервале температур от 0 до t₂ С: .

Соответственно будем иметь:

. (11)

Аналогичным образом получаем:

, (12)

где – табличные данные средней теплоёмкости при температуре t₁, Дж/(кг · К).

После подстановки (11) и (12) в (9) окончательно получаем формулу:

. (13)

По формуле для истинной теплоёмкости значение средней теплоёмкости в интервале температур от t₁ до t₂ определяется как среднеинтегральное от функции с(t) в данном интервале температур.

Пусть эмпирическая формула для истинной удельной теплоёмкости имеет вид, аналогичный (9.2):

с(Т) = a₁ + a₂ · t + a₃ · t ^–2, (14)

где t – температура, ^oC; a₁, a₂ и a₃ – известные для конкретного вещества коэффициенты.

Тогда формула для вычисления средней теплоёмкости в интервале температур от t₁ до t₂ имеет вид:

. (15)

5.4. Теплоёмкость смеси идеальных газов

Рассмотрим идеальную газовую смесь, состоящую из n компонентов, масса которой М, кг. Для наглядности будем считать, что смесь нагревается в интервале температур равном одному градусу. Для нагрева такой смеси на один градус Цельсия (или Кельвина) необходимо температуру каждого из компонентов повысить на один градус.

Следовательно, к каждому компоненту необходимо подвести теплоту Q_i, которая повысит температуру этого i-го компонента на один градус:

Q_i = m_i · c_i · 1, Дж, (16)

где m_i – масса i-го компонента, кг; c_i – удельная массовая теплоёмкость i-го компонента, Дж/(кг · К).

Очевидно, что количество теплоты, необходимое для нагрева всей смеси на один градус Q_см, равно сумме теплот, необходимых для нагрева каждого компонента:

, Дж. (17)

С другой стороны по определению удельной массовой теплоёмкости смеси с_см имеем:

Q_см = М · с_см · 1, Дж. (18)

Исходя из (17) и (18) можем записать:

. (19)

После деления обоих частей (19) на М получаем формулу для расчёта удельной массовой теплоёмкости смеси:

, Дж/(кг · К), (20)

где g_i – массовая доля компонента, кг/кг.

Так как химический состав смеси всегда задан, то значения массовых долей компонентов g_i известны и по формуле (20) всегда можно рассчитать с_см.

Повторив рассуждения для объёмных и мольных удельных теплоёмкостей, можно легко получить аналогичные формулы:

с΄_см = , (21)

μс_см = , (22)

где и μс_см – удельные объёмная и мольная теплоёмкость смеси соответственно, Дж/(нм³ · К), Дж/(моль · К); r_i – объемная доля i-го компонента смеси; k_i – мольная доля i-го компонента смеси; c'_i и μc_i – удельные объёмная и мольная теплоемкость i-го компонента смеси, Дж/(нм³ · К), Дж/(моль · К).

В формулах (21) и (22) следует учитывать, что объёмные доли численно равны мольным долям r_i = k_i (см. п. 3.2. Приложения 3).

Таким образом, при заданном химическом составе смеси значения r_i известны и по формулам (21) и (22) всегда можно рассчитать и μс_см.

Следует отметить, что по формулам (20) – (22) могут быть рассчитаны средние и истинные теплоёмкости как при постоянном давлении, так и при постоянном объёме.

Приложение 6