Вопрос №59 Коды Рида-Соломона. Код Хаффмана. Оптимальное кодирование Шеннона-Фано Коды Рида-Соломона

Коды Рида-Соломона были предложены в 1960 г. Ирвином Ридом и Густавом Соломоном, являвшимися сотрудниками Линкольнской лаборатории МТИ. Ключом к использованию этой технологии стало изобретение эффективного алгоритма декодирования Элвином Беликамфом, профессором Калифорнийского университета Беркли. Коды Рида-Соломона базируются на блочном принципе коррекции ошибок и используются в огромном числе приложений в сфере цифровых телекоммуникаций и при построении запоминающих устройств. Коды Рида-Соломона применяются для исправления ошибок во многих системах, включая:

• Устройства памяти (включая магнитные ленты, CD, DVD, штриховые коды, и т.д.)

• Беспроводные или мобильные коммуникации (включая сотовые телефоны, микроволновые каналы и т.д.)

• Спутниковые коммуникации

• Цифровое телевидение / DVB (digital video broadcast).

• Скоростные модемы, такие как ADSL, xDSL и т.д...

Кодировщик Рида-Соломона берет блок цифровых данных и добавляет дополнительные "избыточные" биты. Ошибки происходят при передаче по каналам связи или по разным причинам при запоминании (например, из-за шума или наводок, царапин на CD и т.д.). Декодер Рида-Соломона обрабатывает каждый блок, пытается исправить ошибки и восстановить исходные данные. Число и типы ошибок, которые могут быть исправлены, зависят от характеристик кода Рида-Соломона.

Популярным кодом Рида-Соломона является RS(255,223) с 8-битными символами. Каждое кодовое слово содержит 255 байт, из которых 223 являются информационными и 32 байтами четности. Для этого кода:

n = 255, k = 223, s = 8 2t = 32, t = 16

Декодер может исправить любые 16 символов с ошибками в кодовом слове: то есть, ошибки могут быть исправлены, если число искаженных байт не превышает 16.

При размере символа s, максимальная длина кодового слова (n) для кода Рида-Соломона равна n = 2^s – 1.

Например, максимальная длина кода с 8-битными символами (s=8) равна 255 байтам.

Коды Рида-Соломона могут быть в принципе укорочены путем обнуления некоторого числа информационных символов на входе кодировщика (передавать их в этом случае не нужно). При передаче данных декодеру эти нули снова вводятся в массив.

Код (255,223), описанный выше, может быть укорочен до (200,168). Кодировщик будет работать с блоком данных 168 байт, добавит 55 нулевых байт, сформирует кодовое слово (255,223) и передаст только 168 информационных байт и 32 байта четности.

Объем вычислительной мощности, необходимой для кодирования и декодирования кодов Рида-Соломона зависит от числа символов четности. Большое значение t означает, что большее число ошибок может быть исправлено, но это потребует большей вычислительной мощности по сравнению с вариантом при меньшем t.

Идея кодов Рида-Соломона

Основная идея помехозащитного кодирования Рида-Соломона заключается в умножении информационного слова, представленного в виде полинома D, на неприводимый полином G, известный обоим сторонам, в результате чего получается кодовое слово C, опять-таки представленное в виде полинома.

Декодирование осуществляется с точностью до наоборот: если при делении кодового слова C на полином G декодер внезапно получает остаток, то он должен сообщить об ошибке. Соответственно, если кодовое слово разделилось нацело, его передача завершилась успешно.

Если степень полинома G (называемого также порождающим полиномом) превосходит степень кодового слова по меньшей мере на две степени, то декодер может не только обнаруживать, но и исправлять одиночные ошибки. Если же превосходство степени порождающего полинома над кодовым словом равно четырем, то восстановлению поддаются и двойные ошибки. Короче говоря, степень полинома k связана с максимальным количеством исправляемых ошибок t следующим образом: k=2*t. Следовательно, кодовое слово должно содержать два дополнительных символа на одну исправляемую ошибку. В то же время, максимальное количество распознаваемых ошибок равно t, т.е. избыточность составляет один символ на каждую распознаваемую ошибку.