Вопрос №56 Код с проверкой по четности/нечетности. Коды с постоянным весом. Циклические коды. Код с проверкой по четности/нечетности
Простейший корректриующий код — код с проверкой на чётность. Он образуется добавлением к группе информационных разрядов одного избыточного, значение которого выбирается таким образом, чтобы сумма единиц кодовой комбинации была всегда чётной.
Недостатком кода с чётным числом единиц, является не обнаружение чётных групповых ошибок. Этого недостатка лишены коды с проверкой на чётность, где комбинации разбиваются на части, из них формируются матрицы, состоящие из некоторого числа строк и столбцов. Строки образуются последовательно, по мере поступления символов исходного кода. Затем после формирования m строк матрицы производится проверка на чётность её столбцов, образуется контрольные символы Xki.
Контрольные символы образуются путём суммирования по модулю 2 информационных символов.
При таком кодировании обнаруживаются чётные групповые ошибки.
Если проверка проводится по строкам и столбцам, то код матричный. Он позволяет исправлять одиночные ошибки.
При кодировании целесообразно число единиц в кодовой комбинации делать нечётным и осуществлять контроль на нечётность. В этом случае любая комбинация будет иметь хотя бы одну единицу, что даёт возможность отличать полное отсутствие информации от передачи 0.
Коды с постоянным весом
Все рабочие комбинации этого кода содержат одно и тоже постоянное число единиц, которое называется весом кода. Коды с постоянным весом относятся к классу блочных неразделённых кодов.
Наибольшее применение получили коды «З ИЗ 7» и «З ИЗ 8».
Разрешёнными комбинациями кода «З ИЗ 7» являются такие, которые содержат 3 единицы независимо от их мест в комбинации.
Обнаружение ошибок сводится к определению их веса. Если вес отличается от заданного, то считается, что произошла ошибка.
Код обнаруживает веса ошибок нечётной кратности и части ошибок чётной.
Не обнаруживаются ошибки, при которых несколько единиц превращаются в 0, и столько же 0 – в 1 (ошибки смещения).
В коде «З ИЗ 7» 128 возможных комбинаций, разрешённых только 35.
Циклические коды
Циклические коды относятся к классу линейных систематических кодов.
Коды называются циклическими, потому что циклический сдвиг любой разрешённой кодовой комбинации также является разрешённой комбинацией.
Теория построения циклических кодов базируется на разделах высшей математики. Особую роль в этой теории играют полиномы — неприводимые многочлены, которые не могут быть представлены в виде произведения многочленов низших степеней.
Среди циклических кодов занимает класс кодов предложенных Боузом и Рой-Чоудхури и независимо от них Хоквингемом.
Эти коды получили название БЧХ-коды. Они отличаются специальным выбором образующего циклический код полинома, что приводит к простой процедуре декодирования.
В циклических кодах r-проверочных символов, добавленных к исходным К информационным могут быть получены сразу, то есть в результате умножения исходной подлежащей передаче кодовой комбинации q(x) простого кода на одночлен xr и добавлением к этому произведению остатка R(x) полученного в результате деления произведения на порождающий полином P(x).
Коды Хэмминга также можно получить по алгоритмам формирования циклических кодов.
Вопрос о минимально-необходимой избыточности, при которой код обладает нужной корректирующей способностью, является одним из важнейших в теории кодирования.
В настоящее время получен лишь ряд верхних и нижних границ, которые устанавливают связь между максимально возможным минимальным кодовым расстоянием корректирующего кода и его избыточностью.
Так, граница Плоткина даёт верхнюю границу кодового расстояния при заданном числе разряда n и чисел информационных разрядов К:
Граница Варшамова-Гильберта для больших значений n определяет нижнюю границу для числа проверочных разрядов необходимых для обеспечения заданного кодового расстояния:
