Регулирование температуры

Рассмотрим два примера построения моделей тепловых объектов.

Экзотермический реактор с рубашкой (рис. 92)

Рис. 92.

Обозначения:

G_рс , G_пр – массовые расходы реакционной смеси и продукта,

G , G - массовые расходы охлаждающей воды на входе и на выходе рубашки,

Θ_рс, Θ_пр, Θ , Θ , Θ, Θ_р – температуры соответственно реакционной смеси, продукта, воды на входе и выходе рубашки, в реакторе и рубашке.

Допущения:

1) В реакторе и рубашке идеальное перемешивание:

.

2) Потери тепла в окружающую среду отсутствуют.

3) Тепловая ёмкость стенки между реактором и рубашкой пренебрежимо мала.

4) Не учитывается динамика материальных потоков, т.е.

.

5) Не учитывается тепловой эффект перемешивания.

6) Температура реакционной смеси и воды на входе в рубашку постоянны:

; .

С учётом допущения 3) объект является двухёмкостным.

Уравнение теплового баланса реактора:

(324)

.

Уравнение теплового баланса рубашки:

(325)

,

где r_рс, r_в – плотности реакционной смеси и воды,

V_рс,V_в – объёмы реакционной зоны реактора и рубашки,

с_рс, с_в – удельные теплоёмкости реакционной смеси и воды,

R₀ – количество тепла выделяемое в процессе реакции одного моля реакционной смеси,

m - молярный вес реакционной смеси,

a - коэффициент теплопередачи через стенку между реактором и рубашкой,

s – поверхность теплопередачи.

Записывая уравнения (324), (325) в приращениях и приводя их к стандартному виду, получаем систему двух уравнений первого порядка, описывающих рассматриваемый объект:

(326)

,

где постоянные времени и коэффициенты передачи определяются соотношениями:

; ;

; ;

; .

Передаточная функция объекта по каналу :

.

Передаточная функция объекта по каналу :

.

Основной задачей регулирования теплового режима реактора является поддержание температуры в реакционной зоне реактора изменением расхода воды в рубашку. Передаточная функция объекта по каналу регулирующего воздействия :

.

Передаточная функция объекта по каналу возмущающего воздействия (колебаний расхода реакционной смеси) :

.

Теплообменник типа «труба в трубе»

Рассмотренные выше примеры относятся к объектам с сосредоточенными параметрами, описываемым обыкновенными дифференциальными уравнениями. Ниже рассматривается пример объекта с распределёнными параметрами, описываемого уравнением в частных производных.

Теплообменник представляет две концентрические трубы (рис. 93). Нагреваемая жидкость подаётся во внутреннюю трубу, теплоноситель – во внешнюю.

Обозначения:

x – координата (длина трубы),

D_в – диаметр внутренней части внутренней трубы,

d - толщина стенки внутренней трубы,

D_в + 2d - диаметр внешней части внутренней трубы,

D_н – внутренний диаметр наружной трубы,

L₁ = p D_в – длина внешней окружности внутренней трубы,

L₂ = p(D_в + 2d) – длина внешней окружности внутренней трубы,

L₃ = pD_н – длина внутренней окружности наружной трубы,

S_в - pD_в²/4 – сечение внутренней трубы,

S_ст = p[(D_в + 2d)²-D_в²]/4 = pd( D_в + d) – сечение стенки внутренней трубы,

S _к = p[D_н² - (D_в + 2d)²]/4 – сечение кольца между внутренней и внешней трубами.

Рис.93.

Объект содержит три тепловые ёмкости: тепловая ёмкость нагреваемой жидкости во внутренней трубе, ёмкость стенки внутренней трубы, ёмкость нагревателя в межтрубном пространстве.

Для получения уравнения динамики изменения температуры материала во внутренней трубе рассмотрим элемент объёма жидкости внутренней трубы S_в∙∆х (∆х – приращение длины трубы относительно значения х).

Количество тепла в элементарном объёме S_в∆х:

S_в∆хρ_жс_жΘ_ж ,

где ρ_ж, с_ж, Θ_ж – соответственно плотность, удельная теплоёмкость и температура нагреваемой жидкости.

Поскольку температура жидкости изменяется как во времени, так и по длине теплообменника, общее изменение тепла, запасённого элементарным объёмом жидкости равно сумме изменений тепла за счёт приращений времени ∆t и координаты ∆х.

Приращение тепла в элементе S_в∆х за промежуток ∆t:

(327)

.

Найдём приращение тепла в элементе объёма за счёт приращения координаты ∆х. Поток тепла через сечение внутренней трубы S_в за счёт перемещения жидкости:

ρ_жс_жΘ_жv_жS_в ,

где v_ж – скорость движения жидкости.

Количество тепла через сечение S_в за промежуток ∆t:

ρ_жс_жΘ_жv_жS_в∆t .

Приращение тепла по длине теплообменника:

(328)

.

Сумма (327) и (328) есть общее приращение тепла в элементе объёма S_в∆х за промежуток времени ∆t.

Тепло, отдаваемое стенкой трубы элементу S_в∆х за время ∆t:

α₁L₁(Θ_ст-Θ_ж)∆x∆t,

где a₁ – коэффициент теплоотдачи от стенки трубы нагреваемому материалу,

L₁∆x – поверхность теплоотдачи,

Θ_cт – температура стенки.

Уравнение теплового баланса для нагреваемой жидкости:

(329)

Разделим левую и правую части уравнения (329) на S_вρ_жс_ж и запишем его в виде:

(330)

,

где

.

Динамика изменения температуры теплоносителя во внешней трубе описывается уравнением аналогичным (330):

(331)

,

где ρ_т, с_т, Θ_т – параметры теплоносителя,

v_т – скорость теплоносителя,

,

α₂ – коэффициент теплопередачи от теплоносителя к стенке.

Для описания динамики изменения температуры стенки рассмотрим элементарный объём стенки S_ст∆х. Изменение количества тепла, запасённого элементом объёма стенки:

,

где ρ_ст, с_ст, Θ_ст – параметры стенки.

Уравнение теплового баланса стенки:

,

или

(332)

,

где

; .

Уравнения (330), (331), (332) образуют систему трёх уравнений, описывающих динамику теплообменника «труба в трубе». Для получения зависимости температуры нагреваемой жидкости от температуры теплоносителя необходимо решить эту систему уравнений при заданных начальных условиях.

Уравнения в частных производных могут быть преобразованы в систему обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи преобразования Лапласа. Один из способов решения этой задачи заключается в том, что, применяя к уравнению в частных производных преобразование Лапласа по пространственной переменной x, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых соответствует фиксированному значению пространственной переменной.