9.5. Решение задачи о линейной дополнительности методом Лемке
При
задача (310) имеет тривиальное базисное
решение:
.
Если же вектор
содержит хотя бы один отрицательный
элемент, начальное базисное решение
оказывается недопустимым, т.к. нарушается
условие (310.в). Для получения допустимого
решения введём во все уравнения системы
(310.а) искусственную положительную
переменную z0,
равную максимальному абсолютному
значению среди всех отрицательных
элементов вектора
.
Пусть для определённости
,
тогда
.
(312.а)
(312.б)
(312.в)
,
где
- единичный вектор.
Для решения задачи (312) к системе ограничений-неравенств (312.а) применяют последовательность симплексных преобразований. Каждое симплексное преобразование позволяет поменять местами базисную и свободную переменные, т.е. базисную переменную вывести из базиса и превратить её в свободную, а свободную переменную ввести на её место в базис.
Симплексное преобразование легко формализовать при использовании симплексных таблиц. Начальная симплексная таблица для задачи (312) имеет вид (таблица 9)
Таблица 9.
Базис |
w1 |
… |
ws |
… |
w |
… |
wp |
z1 |
… |
zr |
… |
zp |
z0 |
q |
w1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
-m11 |
|
-m1r |
|
-m1p |
-1 |
q1 |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
-ms1 |
|
-msr |
|
-msp |
|
qs |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
1 |
|
|
-m1 |
|
-mr |
|
-mp |
-1 |
q |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wp |
|
|
|
|
|
|
1 |
-mp1 |
|
-mpr |
|
-mpp |
-1 |
qp |
ws
В первом столбце таблицы записаны базисные переменные. Остальные столбцы соответствуют базисным, свободным переменным и искусственной переменной. Последний столбец содержит свободные члены ограничений-неравенств. На пересечении строк и столбцов, соответствующих базисным переменным, ставятся единицы, остальные элементы этих столбцов равны нулю. В столбцы, соответствующие свободным переменным, вписываются коэффициенты ограничений. Элементы столбца, соответствующего искусственной переменной, полагаются равными минус единице.
Для того, чтобы свободную переменную zr ввести в базис, а базисную переменную w вывести из базиса, необходимо осуществить симплексное преобразование относительно элемента mr , находящегося на пересечении строки w и столбца zr . Этот элемент и порождающие его строка и столбец называются разрешающими.
В результате симплексного преобразования получаем новые значения коэффициентов и свободных членов ограничений (312.а), определяемые по выражениям.
(индексом «П» снабжены значения коэффициентов и свободных членов ограничений после симплексного преобразования).
На первом шаге в базис вводится искусственная переменная z0 вместо базисной переменной ws (разрешающий элемент обозначен в таблице 9 кружком). После первого симплексного преобразования симплексная таблица принимает вид (таблица 10).
Таблица 10.
-
Базис
w1
…
ws
…
wp
z1
…
zs
…
zp
z0
q
w1
1
-1
…
z0
-1
1
…
wk-1
…
wp
-1
1
В результате начального симплексного преобразования базисная переменная ws превратилась в свободную, имеющую нулевое значение. В соответствии с условием дополняющей нежёсткости (312.б) дополнительная для переменной ws переменная zs должна иметь ненулевое значение, поэтому на втором шаге эту переменную следует ввести в базис. Таким образом, получаем простое правило выбора переменной, вводимой в базис (правило выбора разрешающего столбца): на каждом шаге в базис вводится переменная, дополнительная к базисной переменной, выведенной из базиса на предыдущем шаге.
В качестве переменной, выводимой из базиса, выбирается переменная wk , для которой отношение свободного члена ограничения qk к коэффициенту ограничения в разрешающем столбце mks минимально для всех положительных коэффициентов (правило выбора разрешающей строки):
.
На третьем шаге согласно правилу выбора разрешающего столбца в базис вводится переменная zk и т.д.
Решение достигается тогда, когда при очередном симплексном преобразовании оказывается, что k=s, т.е. номер разрешающей строки становится равным номеру строки с максимальным по модулю отрицательным свободным членом ограничений (условие последнего перед остановом симплексного преобразования). При этом переменная z0 выводится из базиса, принимает нулевое значение, что и свидетельствует о нахождении допустимого решения задачи о линейной дополнительности.