9. Многомерные дискретные аср с прогнозом регулируемых переменных
Перспективным способом решения дискретной задачи оптимального управления, рассмотренной в предыдущем разделе, является сведение её к последовательности задач математического программирования. Этот подход, в частности, позволяет:
– упростить вычислительную процедуру (вместо моделей объекта управления в пространстве состояния можно использовать более простые модели «вход – выход»; не требуется решать уравнение Риккати);
учитывать в явном виде ограничения на управления;
варьировать длительность произвольного шага управления.
9.1. Структурная схема системы с прогнозом регулируемых переменных и его минимизацией [15]
Структурная схема
описываемой системы приведена на рис.
82. Математическая модель многомерного
объекта управления представлена в ней
(
)
– матрицей переходных функций
,
связывающей
–вектор
регулируемых переменных
с
–
вектором кусочно–постоянных управлений
.
Рис. 82.
Регулируемые переменные
измеряются дискретно с интервалом
дискретности
.
Управления представляют собой
кусочно–постоянные функции времени с
периодом постоянства управления
.
Предполагается, что
.
Управляющее устройство
системы включает два алгоритмических
блока. В начале каждого шага управления
первый блок осуществляет прогноз вектора
рассогласования
между заданными и текущими значениями
регулируемых переменных на величину
текущего шага управления
.
Второй блок осуществляет расчет изменения
вектора управлений на данном шаге
,
минимизирующего прогноз вектора
рассогласования
.
На изменение вектора управлений на каждом шаге могут быть наложены ограничения:
(302)
Итак, допустимое изменение вектора управлений на каждом шаге определяется в результате решения двух задач: прогноза рассогласования регулируемых переменных на текущий шаг управления и минимизации прогноза рассогласования в общем случае при наличии ограничений (302).
Для получения результирующего управления на текущем шаге, найденное изменение вектора управлений складывается со значением вектора управлений на предыдущем шаге:
.
Найденное
управление поддерживается неизменным
до начала следующего шага управления
фиксирующим элементом
.
9.2. Прогнозирование рассогласования [15, 16]
Прогноз
рассогласования
может быть представлен суммой прогноза
свободного (неуправляемого) рассогласования
,
вызванного действием на объект управления
неконтролируемых возмущений, а также
предыдущих управлений, и прогноза
управляемого рассогласования
,
обусловленного ступенчатым изменением
управления в начале текущего шага
управления:
(303)
Для прогноза свободного рассогласования регулируемых переменных применяются методы прогнозирования временных рядов. В частности, для получения краткосрочного прогноза в качестве прогнозируемой функции могут использоваться модели тренда временных рядов, для описания которого используют линейные или линеаризуемые относительно параметров функции. Например, в случае линейной прогнозирующей функции расчетные соотношения для прогноза, определяемые методом наименьших квадратов имеют вид:
,
,
где n – «память» прогнозатора – число членов временного ряда прогнозируемой переменной, используемых для прогнозирования.
Для повышения точности прогноза предыдущие наблюдения временного ряда разбиваются на обучающий и экзаменующий временные ряды. Обучающий ряд используется для определения параметров прогнозирующей функции. Оптимизация прогноза достигается поиском оптимальной длины обучающего ряда (основания прогноза), минимизирующей ошибку прогноза на экзаменующем ряду при заданном времени (горизонте) прогнозирования.
В более совершенных алгоритмах для повышения точности прогноза используют ансамбль прогнозирующих функций, сформированный по результатам предварительных исследований. При этом результирующий (комбинированный) прогноз находят как линейную комбинацию частных прогнозов по отдельным прогнозирующим функциям.
Прогноз управляемого рассогласования определяется по выражению
(304)