8.4. Синтез дискретного пи–регулятора состояния – выхода

Поскольку система с П–регулятором, как отмечалось в разделе 2.3, характеризуется статической ошибкой, рассмотрим теперь систему с ПИ– регулятором, описываемым уравнением:

(290)

где – -вектор рассогласования выхода относительно его заданного значения (для простоты считаем );

и – соответственно ( ) – и ( ) – матрицы коэффициентов передачи И–составляющей и П–оставляющей закона регулирования.

Регулятор, описываемый уравнением (290), является пропорциональным по состоянию и интегральным по выходу и называется поэтому ПИ–регулятором состояния – выхода.

Для того, чтобы избавиться в (290) от суммы, запишем уравнение ПИ–регулятора в приращениях:

(291)

Будем решать задачу:

, (292)

где – приращение вектора управления. (Считаем, что объект управления по–прежнему описывается уравнением (272)).

Поскольку, как видно из (290), управление зависит теперь не только от состояния, как в регуляторе (278), но и от суммы рассогласований выхода, введем расширенный вектор состояния :

Для того, чтобы избавиться от суммы в определении расширенного вектора состояния, перейдем к его приращению:

,

где .

Определим теперь конечно – разностное уравнение для вектора .

Учитывая, что , приращение вектора рассогласования равно:

,

или с учетом уравнения выхода (276)

(293)

Подставляя в (293) конечно – разностное уравнение объекта (272), записанное в приращениях

, (294)

получаем

(295)

Вводя обозначения

; ,

можем объединить уравнения (295), (294) в конечно – разностное уравнение эквивалентного объекта (расширенное уравнение состояния):

(296)

Теперь задачу (292) можно свести к задаче (250), записав её в виде:

(297)

Поскольку в исходной задаче (292) весовые коэффициенты относились только к вектору рассогласования выхода, расширенная матрица весовых коэффициентов состояния в задаче (297) определяется следующим образом

,

Таким образом, задача синтеза ПИ–регулятора состояния – выхода (291) сведена к задаче (297) эквивалентной задаче синтеза П–регулятора с расширенным вектором состояния и эквивалентным объектом (296). Решая эту задачу с помощью соотношений, аналогичных (289), (288), получаем – матрицу коэффициентов ПИ–регулятора , которую можно расчленить на подматрицы коэффициентов П– и И– составляющих регулятора и :

8.5. Синтез дискретного наблюдателя состояния

Поскольку реализация регуляторов (278) или (291) требует знания вектора состояния, возникает задача восстановления состояния по выходным переменным. Эта задача решается с помощью устройств, называемых наблюдателями состояния. Одним из возможных вариантов реализации наблюдателя является наблюдатель Люенбергера, описываемый в дискретном случае уравнением:

, (298)

или

, (299)

где – оценка вектора состояния,

матрица коэффициентов передачи наблюдателя, в определении которой и заключается задача синтеза наблюдателя.

Уравнению (298) соответствует структурная схема на рис. 80.

Рис. 80.

Как видно из рис. 80, наблюдатель состояния представляет замкнутую систему с двумя входами и . Если эта система устойчива и обладает малой статической ошибкой, то по окончании переходного процесса стремится к и, следовательно, стремится к .

Задача определения матрицы коэффициентов наблюдателя состояния так же, как и задача синтеза ПИ–регулятора, может быть сведена к задаче, эквивалентной задаче синтеза П–регулятора (250).

Рассмотрим ещё раз систему с объектом (272) и стационарным регулятором (278). Подставляя (278) в (272), получаем уравнение замкнутой системы:

,

или

,

которому соответствует следующее характеристическое уравнение:

(300)

Характеристическое уравнение наблюдателя состояния (299):

,

или после транспонирования выражения в квадратных скобках:

Введем обозначения

.

Тогда характеристическое уравнение наблюдателя принимает вид:

(301)

Сравнивая (300) и (301), убеждаемся, что задача синтеза наблюдателя состояния эквивалентна задаче синтеза эквивалентного П– регулятора:

для эквивалентного объекта управления

.

Решая эквивалентную задачу с помощью соотношений (289), (288), определяем матрицу коэффициентов передачи эквивалентного регулятора и, следовательно, искомую матрицу коэффициентов передачи наблюдателя

.

Структурная схема многомерной дискретной АСР с ПИ – регулятором состояния – выхода и наблюдателем состояния приведена на рис. 81.

Рис. 81.