Вводя обозначения
;
,
получаем матричное уравнение состояния в форме (251).
Матрица имеет в данном случае так называемую форму Фробениуса.
Уравнение (260) с учетом обозначений (262) можно записать в виде:
. (264)
Обозначая
,
получаем
уравнение выхода в форме (252). В данном
случае
–
скалярная переменная, являющаяся
линейной комбинацией переменных
состояния.
Матричная
форма записи уравнений состояния –
выхода является удобным инструментом
при анализе многосвязных систем.
Например, для двумерного объекта,
структурная схема которого изображена
на рис. 78 (
),
Рис. 78.
описываемого следующими системами уравнений:
,
,
матрицы состояния, управления и выхода выглядят следующим образом:
Для
перехода к дискретному уравнению
состояния рассмотрим решение уравнения
состояния (251) при постоянных матрицах
начальном состоянии
и ступенчатом управлении
:
(265)
Матричная
экспонента
определяется разложением в степенной
ряд
(266)
Обозначим
(267)
(268)
Матрицы
и
называются переходными матрицами
состояния и управления соответственно.
Если матрица плохо обусловлена, нахождение матрицы вызывает определенные трудности, поэтому желательно определить матрицу так, чтобы избежать операции обращения матрицы .
Введем
в рассмотрение матрицу
:
С учетом (266), (267) выражение для матрицы принимает вид:
(269)
Тогда матрицы и могут быть выражены через матрицу следующим образом:
(270)
(271)
Как видим, для вычисления матрицы по формуле (270) не требуется обращать матрицу .
С учетом обозначений (267), (268) выражение (265) для переходной функции приобретает вид:
Положив в последнем соотношении
получаем дискретное уравнение состояния:
или в упрощенной форме записи:
(272)
Матрицы
и
можно найти из выражений (269)
(271), заменив в них
на
:
(273)
(274)
(275)
Дискретным аналогом уравнения выхода (252) является уравнение
(276)
8.3. Синтез дискретного п–регулятора состояния
Решаем задачу (250) при условии, что объект управления описывается уравнением (272).
Предположим,
что в процессе решения мы находимся на
–том
от начала или
–том
от конца шаге управления (
).
Обозначим минимальное значение целевого
функционала на оставшихся шагах
управления (функцию оптимального
поведения) через
:
(277)
Уравнение дискретного П – регулятора будем искать в виде:
, (278)
где
матрица
коэффициентов передачи оптимального
регулятора на
–том
шаге.
Последовательно
выражая
через
и
через
с помощью уравнений объекта (272) и
регулятора (278) для
,
функцию оптимального поведения (277)
можно представить в виде квадратичной
формы некоторой матрицы
:
(279)
или
для момента времени (
):
(280)
–
квадратная
симметричная (
)
– матрица.
В
соответствии с принципом оптимальности
Беллмана, каково бы ни было состояние
системы перед очередным
–тым
шагом, управление
на этом шаге выбирается так, чтобы
минимизировать сумму функции в круглых
скобках (250) на
–том
шаге и функции оптимального поведения
на оставшихся (
)–м
шагах, т.е.
,
или с учетом (280):
(281)
Поскольку состояние в момент ещё неизвестно, его можно определить из уравнения объекта (272). При этом выражение (281), в котором для кратности обозначено
, (282)
принимает вид:
(283)
Оптимальное
управление на
–том
шаге находим из условия стационарности
:
,
откуда
(284)
Сопоставляя (284) с (278), убеждаемся, что
. (285)
Для
определения матрицы
подставим (284) в (283). После преобразований
получаем
(286)
Сопоставляя (286) с (279), а также учитывая (282), находим:
(287)
Уравнение
(287) есть конечно–разностный аналог
дифференциального уравнения Риккати.
При бесконечном интервале управления
(
)
оно вырождается в алгебраическое
уравнение:
(288)
а выражение (285) для матрицы коэффициентов передачи регулятора принимает вид:
(289)
Выражения (289), (288) позволяют рассчитать матрицу коэффициентов оптимального по точности П – регулятора состояния.
Уравнение (288) является нелинейным и в общем случае его решение в явном виде получить не удается. Однако его можно рассматривать как рекуррентное соотношение:
и использовать для его решения итерационные методы. В качестве критерия останова можно использовать, например, близость евклидовых норм матриц на соседних шагах.
Структурная схема многомерной дискретной системы с объектом управления (272) и оптимальным по точности П – регулятором состояния (289) приведена на рис. 79.
Рис. 79.