8. Синтез многомерных дискретных регуляторов в пространстве состояния [12, 13, 14]

8.1. Формулировка задачи оптимального управления

Задача синтеза многомерного регулятора в пространстве состояния формализуется обычно в виде задачи о максимальной точности с интегральным квадратичным функционалом :

, (249)

где – соответственно начальное и конечное время,

– интервал управления (при имеем бесконечный интервал управления),

– вектор переменных состояния системы размерностью ( – вектор);

– – вектор переменных управления;

– ( ) – квадратная положительно определенная диагональная матрица весовых коэффициентов состояния;

– ( ) – квадратная положительно полуопределенная диагональная матрица весовых коэффициентов управления.

Вообще говоря, в критерии задачи (249) вместо вектора состояния следовало бы писать отклонение вектора состояния от его заданного значения . Однако для упрощения записи полагаем .

Размерность вектора состояния равна порядку дифференциального уравнения (системы уравнений), которыми описывается данная динамическая система.

Первое слагаемое (квадратичная форма матрицы ) вводится в критерий задачи (249) с целью минимизации суммы интегральных квадратичных критериев для переменных состояния взятых с весовыми коэффициентами равными элементам матрицы .

Второе слагаемое в критерии задачи (249) (квадратичная форма матрицы ) позволяет минимизировать сумму квадратичных интегральных критериев для переменных управления взятых с весами равными элементам матрицы и таким образом ввести ограничения на управление.

Поскольку многомерные регуляторы проще всего реализовать с помощью цифровых вычислительных устройств, перейдем к дискретному аналогу задачи (249):

, (250)

где – число периодов квантования по времени в интервале управления (Как в задаче (240), последующее состояние и предыдущее управление в силу запаздывания в объекте управления отнесены к одному шагу).

8.2. Уравнения состояния и измерения

При решении задачи оптимального управления (249) уравнения динамики объекта (системы) управления записывают в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка в матричной форме записи и называют матричным уравнением состояния.

Для линейных стационарных систем уравнение состояния имеет вид:

, (251)

где – – вектор первых производных переменных состояния,

и – соответственно ( ) – и ( ) – матрицы состояния и управления.

В реальных условиях измерению доступны только отдельные элементы вектора состояния или их линейные комбинации, поэтому уравнение состояния дополняется матричным уравнением измерения (выхода), связывающим – вектор выходных переменных с вектором состояния:

, (252)

где – ( ) – матрица выхода.

В качестве примера рассмотрим получение матричного уравнения состояния для одномерного по управлению объекта, описываемого дифференциальным уравнением – го порядка (2), которое перепишем в виде

(253)

Пусть для определенности .

Запишем преобразование Лапласа уравнения (253)

, (254)

или

, (255)

где и – полиномы от порядков и ( ) соответственно.

Из (255) следует, что

, (256)

Обозначим

, (257)

тогда выражения (256), (257) можно записать в виде:

(258)

(259)

Запишем оригиналы выражений (258), (259)

(260)

(261)

Введем переменные состояния

(262)

Тогда уравнение (261) с учетом обозначений (262) можно записать в виде следующей системы уравнений первого порядка:

(263)

По существу первые ( ) уравнений системы (263) являются обозначениями, а – ое уравнение получено из уравнения (261).