7.3. Синтез регулятора с минимальной дисперсией [5]

Целью расчета регуляторов с минимальной дисперсией (МД – регуляторов) является минимизация дисперсии выходной величины цифровой системы или равного ей с точностью до математического ожидания квадрата выходной величины:

Поскольку решение этой задачи имеет смысл только при ограничениях на управления (иначе, увеличивая управляющее воздействие, дисперсию выходной величины можно сделать сколь угодно малой) в критерий управления следует ввести ещё одно слагаемое – средний квадрат управления с весовым коэффициентом :

(240)

В критерии (240) используется последующее значение выхода (а не текущее ), т.к. текущее значение управления определяет в силу запаздывания в объекте управления последующее значение выхода .

Рассмотрим в качестве примера структурную схему цифровой АСР со случайным воздействием , приведенным к выходу приведенной непрерывной части (рис. 77)

Рис. 77.

Пусть для простоты передаточная функция приведенной непрерывной части имеет первый порядок:

.

,

,

а случайное воздействие описывается моделью АР1:

.

Передаточная функция формирующего фильтра для этой модели:

,

.

Передаточную функцию МД–регулятора будем также искать в виде дробно–рациональной функции от :

,

или, считая и ,

(241)

Для нахождения выражения для выходной величины , входящей в критерий (240), запишем её – изображение:

(242)

Подставляя в (242) выражения для полиномов приводя результаты к общему знаменателю и совершая обратное –преобразование, получаем:

(243)

Определяя из последнего выражения и подставляя его в критерий (240), имеем:

(244)

В текущий момент времени известны текущее и прошлые значения возбуждающего шума . Неизвестно будущее значение . Известные значения шума являются неслучайными и их математическое ожидание равно их значениям, т.е.

,

т.к. математическое ожидание неслучайной величины равно самой этой величине. В то же время математическое ожидание последующего значения шума равно нулю, поскольку возбуждающий шум по предположению имеет нулевое математическое ожидание.

Если – константа, а – случайная величина с нулевым математическим ожиданием, имеет место очевидное соотношение:

Поэтому после нахождения математического ожидания выражения в фигурных скобках (244) получаем:

Оптимальное значение управления определяем из необходимого условия экстремума критерия оптимальности:

(245)

Для нахождения передаточной функции МД–регулятора запишем –преобразование соотношения (245). Выражение в квадратных скобках (245) есть, как следует из (243), за вычетом , поэтому его –преобразование равно:

,

следовательно, – преобразование (245) принимает вид

(246)

Найдем из (242) и подставим в (246).

(247)

После подстановки (247) в (246), имеем

Передаточную функцию МД–регулятора получим разрешив последнее равенство относительно отношения , как того требует определение (241):

,

или с учетом выражений для полиномов :

(248)