7.2. Определение дисперсии выходной величины в цифровой аср [10, 11]

Считаем, что возмущающее воздействие в цифровой системе представляет случайную временную последовательность, описываемую моделью АРСС (220). Спектральная плотность мощности этого воздействия определяется соотношением (221).

Для удобства дальнейших выводов перейдем из частотной плоскости в плоскость z. Аналогом соотношения (221) в плоскости z является выражение:

(222)

(Напомним, что такой переход осуществляется с помощью подстановки ).

Например, для модели авторегрессии первого порядка АР1 (p = 1, q = 0):

,

имеем:

Тогда согласно (221) и (222)

, (223)

Как отмечалось, спектральные плотности выходной и входной случайных последовательностей динамической системы связаны через квадрат её АЧХ. Переходя в плоскость z выражение для спектра мощности выхода системы, можно записать следующим образом:

, (224)

где - спектральные плотности временных рядов на выходе и входе системы,

- дискретная передаточная функция замкнутой системы.

В разделе 7.1. также отмечалось, что корреляционная функция и спектр мощности связаны парой преобразований Фурье (или при переходе в выражении (222) в плоскость z – парой Z-преобразования). Поэтому корреляционная функция выходной величины цифровой системы может быть найдена с помощью обратного Z-преобразования спектральной плотности выходной величины, которое определяется следующим образом:

или с учетом (224)

, (225)

где - круговой интеграл по контуру , т.е. интеграл, в котором интегрирование осуществляется по замкнутому контуру, т.к. при изменении частоты от 0 до конец вектора описывает в плоскости z окружность с единичным радиусом.

Согласно (215) дисперсия выходной величины равна

или с учетом (225) окончательно получаем:

(226)

(Ниже для простоты считаем ).

Для нахождения интеграла (226) можно использовать два способа: численное интегрирование и использование итерационной процедуры.

Численное вычисление интеграла (226) в частотной области

Для перехода в частотную область опять воспользуемся подстановкой .

Тогда учитывая, что

и

,

а также то, что в силу периодичности подинтегральной функции интеграл в пределах периода равен удвоенному интегралу в пределах полупериода , получаем:

. (227)

В частности, при численном интегрировании методом прямоугольников, обозначая

,

откуда ( – шаг квантования по частоте, N – число интервалов дискретности), сводим интеграл (227) к сумме:

. (228)

В качестве примера запишем выражение (228) для системы второго порядка, на входе которой действует случайная последовательность, описываемая моделью АР1.

При

поэтому модель (223) принимает форму

(229)

Пусть

,

Тогда

Переходя в последнем выражении с помощью подстановки

в частотную область, получаем

.

(230)

Действуя аналогично, находим

(231)

и

(232)

В общем случае для полинома p-го порядка

квадрат его модуля можно определить по выражению:

Подставляя, (230) и (231) в (232), а (229) и (232) в (228), получаем искомое выражение для дисперсии выходной величины .

Вычисление интеграла (226) с использованием итеративной процедуры

Определение дисперсии по выражению (226) сводится к решению интеграла вида:

, (233)

где полиномы и имеют вид

Обозначим

, (234)

(235)

Полиномы определяются с помощью следующих рекуррентных соотношений:

(236)

где

Из выражений (234)(236) следует, что коэффициенты многочленов задаются следующими рекуррентными формулами:

(237)

с начальными условиями

.

Уравнения (237) имеют смысл, если . Коэффициент всегда можно выбрать ненулевым.

Интеграл (233) можно вычислить по рекуррентным формулам, используя последовательность интегралов:

, (238)

Рекуррентная формула для определения имеет вид

Используя формулы 237, можно получить следующее выражение для интеграла (238):

(239)

Для удобства вычислений по формуле (239) можно использовать таблицу 8.

Таблица 8

	Коэффициенты	Коэффициенты
*
*
*
*

В табл. 8 кружками помечены коэффициенты, входящие в выражение (239).

Каждая четная строка коэффициентов получается путем записи коэффициентов предыдущей строки (отмечены знаком ) в обратном порядке. Четные строки коэффициентов и совпадают. Элементы нечетных строк коэффициентов и вычисляются с помощью соотношений (237)