7. Анализ и синтез цифровых аср при случайных воздействиях

При использовании детерминированных методов расчета АСР в качестве входного воздействия мы использовали ступенчатое возмущение, а настройки регулятора выбирались так, чтобы обеспечить заданный запас устойчивости (степень демфирования) системы, который можно оценить по форме кривой переходного процесса в замкнутой АСР с помощью показателей качества регулирования, например, степени затухания (31), характеризующей колебательность переходного процесса.

Поскольку в реальных условиях на АСР действуют случайные возмущения, более правомерным является расчет АСР на реальные, т.е. случайные возмущения, представляющие случайные процессы. При этом в качестве показателя качества функционирования АСР обычно используются дисперсия выходной величины или отношение дисперсии выхода к дисперсии входного возмущения , характеризующее степень подавления системой случайного возмущения, а целью расчета системы является минимизация или отношения .

Задача анализа цифровых АСР при случайных воздействиях заключается в нахождении ( ) при заданных параметрах настройки регулятора. При решении задачи синтеза требуется определить параметры настройки регулятора, минимизирующие при ограничениях на запас устойчивости системы.

7.1. Основные характеристики случайных процессов [8, 9, 7]

Случайной функцией времени (случайным, стохастическим процессом) x(t) называется функция, в любой момент времени представляющая случайную величину. Дискретным аналогом случайного процесса является временная последовательность (временной ряд)

где Т – по-прежнему период отсчетов сигнала (интервал дискретности, период квантования).

Если случайная величина x(t₀) в произвольный момент времени t₀ (или произвольный член временного ряда x_i ) имеет нормальное распределение, то статистические свойства случайного процесса (временного ряда) полностью определяют четыре характеристики: математическое ожидание, дисперсия, ковариационная (корреляционная) функция, спектральная плотность мощности. Причем две последние характеристики содержат одну и ту же информацию о случайном процессе во временной и частотной областях, а дисперсию можно получить из корреляционной функции.

Будем считать случайные процессы (временные ряды) стационарными (т.е. процессами, указанные характеристики которых не зависят от астрономического времени) и эргодическими (для которых усреднение одной характеристики по времени дает такие же результаты, как усреднение по множеству характеристик).

Математическое ожидание

Математическое ожидание случайного процесса характеризует его истинное среднее значение:

(M – символ операции нахождения математического ожидания)

Математическое ожидание временного ряда:

Оптимальной оценкой математического ожидания стационарного эргодического временного ряда является среднее арифметическое отсчетов:

, (208)

N – число членов временного ряда.

Рекуррентная оценка среднего арифметического:

, (209)

– значения среднего арифметического в текущий и предыдущий моменты времени.

Дисперсия

Дисперсия случайного процесса (временного ряда) – это математическое ожидание квадрата отклонения случайного процесса (временного ряда) от его математического ожидания. Другими словами, дисперсия – это средний квадрат отклонения случайного процесса (временного ряда) от его математического ожидания:

, (210)

или для временного ряда

Оптимальной оценкой дисперсии временного ряда является среднее арифметическое квадратов отклонений измеренных значений от оценки математического ожидания:

(211)

Рекуррентная формула для оценки дисперсии:

Итак, математическое ожидание характеризует истинное среднее значение случайного процесса (временного ряда), а дисперсия – его случайный разброс относительно математического ожидания.

Поскольку дисперсия имеет размерность квадрата случайного процесса, вводят дополнительную характеристику – среднеквадратическое отклонение (СКО) случайного процесса, определяемое как положительное значение корня квадратного из дисперсии:

.

Корреляционная (ковариационная) функция

Случайные процессы могут иметь одинаковые математические ожидания и дисперсии и отличаться скоростью изменения. Медленно изменяющиеся процессы называют низкочастотными, быстро изменяющиеся – высокочастотными. Для характеристики скорости изменения случайного процесса (или, что то же, степени связи соседних значений случайного процесса) вводится понятие корреляционной функции случайного процесса. Корреляционная функция есть математическое ожидание произведения двух значений случайного процесса, сдвинутых относительно друг друга на промежуток времени (сдвиг, лаг) :

(212)

Данное определение предложено Н. Винером (инженерное определение корреляционной функции).

Если, вместо абсолютных значений случайного процесса в определении корреляционной функции использовать их отклонения от математического ожидания (центрированный случайный процесс), получаем ковариационную функцию :

(213)

Ковариационная функция связана с корреляционной через квадрат математического ожидания случайного процесса:

(214)

Для центрированных процессов, математическое ожидание которых равно нулю:

,

ковариационная функция равна корреляционной.

Сопоставляя (210), (213), (214), получаем

, (215)

или

.

Таким образом, дисперсия есть значение ковариационной функции при , а начальное значение корреляционной функции равно сумме дисперсии и квадрата математического ожидания.

Корреляционные функции вещественных стационарных процессов являются четными функциями , т.е.

,

т.к. знак (направление) сдвига не имеет значения, поэтому их можно строить только при . Кроме того, корреляционная функция стационарного процесса является функцией, убывающей от до и имеющей при этом монотонный или колебательный характер. Физически это означает, что степень связи между двумя сечениями случайного процесса с ростом падает и при определенном значении эти сечения не зависят друг от друга (не связаны или не коррелированны между собой). Если же корреляционная функция не стремится к установившемуся значению, это признак нестационарности процесса. Корреляционная функция периодического (осциллирующего) процесса также имеет осциллирующий характер. Чем медленнее убывает корреляционная функция, тем сильнее связь между соседними значениями случайного процесса. Предельные случаи (рис.75): корреляционная функция постоянной величины (линия 1) – прямая линия параллельная оси абсцисс (т.е. степень связи между двумя значениями, отстоящими на любой промежуток времени, постоянна), и корреляционная функция белого шума (линия 4).

Белым шумом называется процесс, текущее значение которого не зависит от предыдущих, т.е. значения белого шума не коррелированны между собой. Дисперсия непрерывного белого шума бесконечна. Белый шум есть математическая абстракция, к которой процессы, происходящие в реальных инерционных системах, могут лишь приближаться в той или иной степени.

Рис. 75.

Линиям 2 и 3 на рис. 75 соответствуют корреляционные функции низкочастотного и высокочастотного процессов.

Корреляционная функция временного ряда определяется следующим образом:

где k – число периодов квантования во временном сдвиге (лаге) :

.

Экспериментальная оценка корреляционной функции находится по выражению:

, (216)

где N – число членов временного ряда.

С ростом лага k точность вычисления оценки (216) падает, т.к. уменьшается число членов ряда, по которому считается оценка. При k=0 оценка считается как среднее арифметическое N отсчетов, а при k=N-2 среднее арифметическое считается всего по двум точкам, т.е. весьма неточно. Поэтому для того, чтобы оценка корреляционной функции была достаточно точной, должно выполнятся условие k_max << N, например,

k_max=(0.01–0.05)N.

Спектральная плотность мощности

Корреляционная функция характеризует случайный процесс во временной области. Спектральная плотность мощности (спектр мощности) описывает поведение случайного процесса в частотной области.

Спектральная плотность мощности есть предел отношения мощности случайного процесса на выходе узкополосного фильтра с полосой к величине этой полосы при :

Таким образом, физический смысл спектра мощности – это скорость изменения (плотность распределения) мощности сигнала по частоте.

Спектр мощности есть неотрицательная функция частоты: . Чем более низкочастотным является случайный сигнал, тем быстрее затухает его спектральная плотность. На рис. 76 кривая спектральной плотности 2 соответствует более низкочастотному сигналу, чем кривая 3.

Рис. 76.

Спектральная плотность белого шума – прямая параллельная оси абсцисс (линия 4), т.е. мощность белого шума распределяется равномерно по всему частотному диапазону. Спектральная плотность мощности постоянной величины (линия 1) есть импульс в начале координат, т.к. вся мощность этого сигнала сосредоточена на нулевой частоте.

Наиболее часто для определения спектральной плотности мощности используются два описываемых ниже способа.

Коррелограммный способ (Преобразование Фурье

корреляционной функции)

В англоязычной литературе корреляционная функция называется коррелограммной, что и объясняет название способа.

Спектральная плотность мощности и корреляционная функция связаны парой прямого и обратного преобразования Фурье:

Экспериментальная оценка спектра мощности рассчитывается на интервале конечной длительности , поэтому бесконечные пределы интегрирования в формулах следует заменить конечными:

(217)

С учетом формулы Эйлера:

,

получаем для (217):

. (218)

Второй интеграл в правой части (218) равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах, следовательно,

,

или для вещественных данных

.

При вычислении оценки спектральной плотности мощности на ЦВМ дискретным аналогом формулы (217) является выражение

,

где L – максимальный лаг при вычислении оценки корреляционной функции;

w(i) – корреляционное окно – специальная функция, с помощью которой осуществляется «взвешивание» ординат корреляционной функции с целью улучшения оценки спектральной плотности мощности. В частном случае при w(i) = 1 имеем прямоугольное корреляционное окно.

Считая, что

(k – номер ординаты оценки спектра мощности, N – количество отсчетов временного ряда), окончательно получаем следующую формулу для вычисления оценки спектральной плотности мощности:

(219)

Определение спектральной плотности мощности преобразованием Фурье параметрической модели временного ряда

Многие встречающиеся на практике временные ряды удовлетворительно описываются следующим конечно-разностным уравнением, называемым моделью авторегрессии – скользящего среднего (АРСС):

,

или (220)

Первая сумма в правой части (220) называется авторегрессионной частью модели АРСС и характеризует зависимость временного ряда в текущий момент x_n от прошлых значений временного ряда x_n-1, взвешенных с коэффициентами a_i.

p – порядок авторегрессии (АР).

Вторая сумма в правой части (220) соответствует модели скользящего среднего.

u_n – белый шум, возбуждающий модель АРСС, с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

q – порядок модели скользящего среднего (СС).

Модель скользящего среднего представляет взвешенную с коэффициентами b_i сумму текущего u_n и прошлых u_n-1 значений шума (коэффициент b₀ без потери общности можно считать равным единице).

Модель (220) можно представить как выход некоторого динамического звена (формирующего фильтра), на входе которого действует белый шум.

Взяв Z-преобразование модели АРСС (220), можем найти дискретную передаточную функцию формирующего фильтра:

,

где

,

полиномы от z^-i порядков q и p соответственно.

Частными случаями модели АРСС являются модели авторегрессии (q = 0) и скользящего среднего (p = 0).

Учитывая, что, как известно из теории управления, спектры мощности выходного и входного сигналов динамического звена связаны через квадрат его АЧХ, а также, что спектр мощности дискретного белого шума на входе формирующего фильтра равен

,

получаем для спектральной плотности мощности временного ряда, описываемого моделью АРСС (220), следующее выражение:

, (221)

где - изображения Фурье полиномов .