Для упрощения записи обозначим

,

тогда (137) принимает вид:

(138).

При использовании отстающих конечных разностей конечно-разностное уравнение принимает вид (в этом выражении обозначено ):

(139).

Дискретная передаточная функция

Для получения дискретной передаточной функции используется дискретное преобразование Лапласа (преобразование Лапласа решетчатой функции), определяемое следующим образом:

(140)

(символ * является признаком характеристик дискретных систем).

Выражение (140) определяет прямое дискретное преобразование Лапласа. Для экономии записи вводят обозначение

, (141)

при этом получается так называемое Z – преобразование:

. (142)

Подставляя в (142) вместо , получаем Z – преобразование смещённой решетчатой функции.

По аналогии с непрерывным преобразованием Лапласа решетчатая функция называется оригиналом, а её Z – преобразование – изображением. Изображения элементарных решетчатых функций табулированы.

Дискретное преобразование Лапласа сохраняет основные свойства непрерывного и, в частности, изображение смещенной решетчатой функции (теорема сдвига): смещению оригинала на интервалов дискретности соответствует умножение изображения на :

(143)

(Напомним, что смещению непрерывной функции на соответствует умножение ее изображения на . При с учетом (141) ).

Применяя (143) к опережающей (135) и отстающей (136) конечным разностям первого порядка, имеем

Z – изображение опережающей конечной разности k-го порядка:

. (144)

Z – изображение конечной суммы, являющейся дискретным аналогом интеграла непрерывной функции:

(145)

Как видно из последних выражений, сомножитель (z-1) есть символ взятия конечной разности – дискретного аналога производной, а обратная величина – символ взятия конечной суммы – дискретного аналога интеграла.

Применив (143) к конечно-разностному уравнению (137), получаем его Z-изображение:

Дискретная передаточная функция так же, как и непрерывная, определяется как отношение изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях:

(146)

Передаточная функция для уравнения (139) с запаздывающими конечными разностями имеет вид:

(147)

(Здесь по-прежнему ).

Таким образом, для получения передаточной функции (147) передаточную функцию (146) необходимо разделить на .

Для смещенной на выходе динамического звена решетчатой функции можно получить передаточную функцию , используя Z-преобразование смещенной решетчатой функции.

В статике , следовательно, статический коэффициент передачи дискретной системы связан с дискретной передаточной функцией соотношением:

(148)

В отличие от непрерывных передаточных функций Z-изображения решетчатых функций и дискретные передаточные функции обладают важным свойством, а именно свойством периодичности вдоль мнимой оси в плоскости p, т.е.

,

т.к.

.

Обозначим . _k – круговая частота, соответствующая периоду квантования T (частота квантования). Таким образом, Z-изображения решетчатых функций и дискретные передаточные функции периодичны вдоль мнимой оси плоскости p с периодом равным частоте квантования _k.