6.1. Динамические характеристики цифровых систем регулирования Конечно-разностное уравнение

Непрерывные системы, в которых сигналы являются непрерывными функциями времени f(t), описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Поскольку цифровой регулятор реагирует только на значения сигнала в дискретные моменты времени

t = nT, n = 0,1,2,…,

а промежуточные значения входного сигнала для него безразличны, при описании цифровых систем вводится понятие решетчатой функции f[nT], которая в дискретные моменты времени nT равна исходной непрерывной функции f(t), а в остальные моменты времени равна нулю:

.

Для выявления характера поведения непрерывной функции внутри периода квантования вводят понятие смещенной решетчатой функции:

,

где - абсолютное смещение ординат решетчатой функции,

- относительное смещение ординат.

Изменяя от –1 до +1, можем получить значение исходной непрерывной функции, соответствующее любому моменту времени внутри предыдущего и последующего периодов квантования.

В качестве характеристики скорости изменения решетчатой функции при фиксированном Т принимают первую конечную разность, определяемую как разность между соседними ординатами решетчатой функции. Различают опережающую (правую) конечную разность (разность между последующей и текущей ординатами решетчатой функции):

(135)

и отстающую (левую) конечную разность (разность между текущей и предыдущей ординатами):

. (136)

Итак, первая конечная разность есть дискретный аналог первой производной непрерывной функции. Аналогом второй производной является конечная разность второго порядка, определяемая как разность конечных разностей первого порядка в соседних ординатах решетчатой функции.

Опережающая конечная разность второго порядка:

,

или с учетом (135):

.

Таким образом, конечную разность второго порядка можно представить в виде линейной комбинации трех ординат решетчатой функции, отстоящих на два интервала дискретности. Аналогично, конечную разность k-го порядка можно представить в виде комбинации (k+1)-й ординат решетчатой функции, отстоящих на k интервалов дискретности.

Аналогом дифференциальных уравнений, описывающих непрерывные системы, являются конечно-разностные уравнения, описывающие динамику дискретных систем. Конечно-разностное уравнение можно записать в виде линейной комбинации конечных разностей входа и выхода, однако принято записывать конечно-разностное уравнение в виде линейной комбинации смещенных ординат решетчатой функции. При этом в зависимости от того, используются опережающие или запаздывающие конечные разности, конечно-разностное уравнение можно записать в двух формах: через опережающие или запаздывающие ординаты.

Конечно-разностное уравнение k-того порядка при использовании опережающих конечных разностей имеет вид:

, (137)

где k – порядок левой части и всего уравнения в целом,

- порядок правой части.

Для инерционных звеньев (систем) < k.