4.2. Анализ релейных аср частотно-амплитудным методом Гольдфарба

Данный метод применяется для анализа более сложных систем, чем рассмотренная в разделе 4.1 и основан на гармонической линеаризации нелинейного элемента.

Метод гармонической линеаризации нелинейного элемента

Метод предложен советскими учёными Крыловым, Боголюбовым и заключается в замене реального нелинейного элемента эквивалентным ему линейным, выходной сигнал которого равен первой гармонике разложения в ряд Фурье выходного сигнала нелинейного элемента.

Гармоническая линеаризация справедлива при выполнении гипотезы о том, что линейная часть системы представляет фильтр низких частот, подавляющий все гармоники выходного сигнала нелинейного элемента порядка выше первой. Обычно эта гипотеза выполняется, поскольку линейная часть - объект регулирования включает инерционные и интегрирующие звенья, обладающие хорошими фильтрующими свойствами.

Свойства линеаризованного нелинейного элемента описываются эквивалентным комплексным коэффициентом передачи нелинейного элемента, представляющим отношение изображения Фурье первой гармоники разложения выходного сигнала в ряд Фурье y₁(j) к изображению Фурье входного гармонического сигнала x(j). Эквивалентный комплексный коэффициент передачи зависит от амплитуды входного сигнала А, является функцией комплексной переменной и обозначается W_нэ(jА).

(89)

Пусть

,

- круговая частота,

Т - период гармонических колебаний,

- угловая координата.

(90)

(91)

Коэффициенты первой гармоники разложения в ряд Фурье определяются по формулам:

,

С учётом (90), (91) выражение (89) принимает вид:

,

Обозначим

тогда выражение для эквивалентного комплексного коэффициента передачи нелинейного элемента окончательно можно записать в форме:

(92)

где

(93)

Для кососимметричных нелинейностей первая гармоника выходного сигнала совпадает по фазе с входным сигналом, следовательно, косинусоидальная составляющая q₂(A)=0.

После линеаризации квазилинейное уравнение нелинейного элемента принимает вид:

Годограф вектора называется эквивалентной АФХ нелинейного элемента.

Формулы (92), (93) позволяют получить выражение эквивалентного комплексного коэффициента передачи релейных регуляторов.

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи двухпозиционного релейного регулятора с характеристикой (рис. 34.) при x_min=0 и входном гармоническом сигнале y=Asin, A> равен:

(94)

(95)

Как видно из формул (95), с ростом амплитуды входного сигнала коэффициент передачи релейного элемента падает, поскольку выходной сигнал релейного регулятора остаётся постоянным и равным x_max, следовательно, их отношение стремится к нулю. При изменении амплитуды входного сигнала от  до  значение фазового сдвига в двухпозиционном регуляторе изменяется от - до 0.

Характеристика трёхпозиционного релейного регулятора приведена на рис. 37, где обозначено: - пороги срабатывания (отпускания) регулятора в сторону соответственно увеличения и уменьшения регулирующего воздействия.

Обозначив ,

,

и считая, что на входе релейного регулятора действует гармонический сигнал с амплитудой A>B, можем получить следующее выражение для эквивалентного комплексного коэффициента передачи трёхпозиционного релейного регулятора:

(96)

Нахождение параметров автоколебаний

В результате гармонической линеаризации нелинейного элемента мы получаем линеаризованную АСР. При этом автоколебаниям в исходной нелинейной АСР соответствуют незатухающие колебания на границе устойчивости в линеаризованной АСР. Параметры этих колебаний будут тем ближе друг к другу, тем точнее выполняется гипотеза низкочастотного фильтра. Поскольку эта гипотеза, как отмечалось, выполняется практически всегда в силу инерционности объекта регулирования, можно считать, что параметры автоколебаний в нелинейной АСР приближённо равны параметрам незатухающих колебаний в линеаризованной АСР.

Для нахождения параметров незатухающих колебаний в линеаризованной АСР может быть использован критерий Найквиста, согласно которому условие возникновения незатухающих колебаний в линеаризованной АСР, т. е. условие её нахождения на границе устойчивости имеет вид:

или

(97)

Аналитическое решение уравнения (97) в общем случае невозможно, поэтому Гольдфарб предложил решать это уравнение графически.

Запишем уравнение (97) в виде:

(98)

Обозначим

(99)

- эквивалентный обратный комплексный коэффициент передачи релейного элемента (годограф называют эквивалентной обратной АФХ релейного элемента).

С учётом (98) (99) принимает вид:

(100)

Корни уравнения (100) соответствуют значениям частоты  АФХ объекта регулирования и амплитуды А эквивалентной обратной АФХ релейного элемента. Для нахождения корней уравнения (100) необходимо построить характеристики W_об(j) в функции от частоты и -Z_рэ(jА) в функции от амплитуды и определить точку их пересечения (рис. 38). Значение характеристики W_об(j) в точке пересечения определяет частоту автоколебаний _а в исходной нелинейной системе. Значение характеристики -Z_нэ(jА) в точке пересечения определяет амплитуду А_а автоколебаний.

Исследование устойчивости автоколебаний

Для суждения об устойчивости автоколебаний дадим приращение А амплитуде автоколебаний в точке пересечения (стрелками на рис.38 показаны направления роста частоты и амплитуды).

Если имеет место неравенство

(101)

(такой случай изображён на рис. 38), то

,

т.е. при приращении амплитуды автоколебаний АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1,j0), следовательно, система устойчива, колебания будут затухать и их амплитуда опять уменьшится до значения, соответствующего точке пересечения. Точно так же при уменьшении амплитуды колебаний, система становится неустойчивой, и амплитуда колебаний в ней увеличивается и возвращается к значению в точке пересечения.

Итак, неравенство (101) является условием устойчивости автоколебаний в нелинейной АСР.