4.1. Анализ аср с двухпозиционным релейным регулятором

y

Статическая характеристика двухпозиционного релейного регулятора приведена на рис. 34а,б. Отличие рис. 34а от рис. 34б заключается в том, что на рис. 34а по оси абсцисс отложено значение регулируемой переменной y, а на рис. 34б – рассогласование y=y_зад–y.

Как видно из характеристики двухпозиционного регулятора, регулирующее воздействие в зависимости от величины рассогласования y может принимать два фиксированных значения: x_max и x_min (В частном случае x_min=0). Диапазон изменения регулируемой переменной (рассогласования) можно разбить на три зоны: мало, нормально, много. Будем считать, что величина зоны нормально (называемой также зоной возврата или дифференциалом) составляет 2.

Уравнение статической характеристики двухпозиционного регулятора:

Настроечными параметрами двухпозиционного релейного регулятора являются: , а также x_max и x_min, если они не заданы.

Будем считать, что объект регулирования описывается моделью инерционного звена первого порядка с чистым запаздыванием (8).

Рассмотрим вначале частный случай при отсутствии чистого запаздывания в объекте регулирования.

На рис. 35 изображены графики автоколебаний и изменения регулирующего воздействия.

Здесь y_max и y_min – максимальное и минимальное установившееся значение регулируемой переменной, соответствующие максимальному x_max и минимальному x_min значениям регулирующего воздействия и связанные с ним через коэффициент передачи объекта регулирования:

Разность

будем называть диапазоном регулирования.

Пусть начальное значение регулируемой величины y(0)=y_min. Поскольку при этом y>, регулирующее воздействие принимает максимальное значение (x=x_max), и объект начинает разгоняться по кривой разгона – экспоненте. При достижении регулируемой переменной значения y_зад+ (y=-) в момент t₁ регулирующее воздействие переключается на x_min, и регулируемая переменная начинает уменьшаться. При t=t₂ y= и регулирующее воздействие снова переключается на x_max. Далее система входит в режим установившихся колебаний. Амплитуда автоколебаний равна половине зоны возврата статической характеристики регулятора:

(64)

.

Среднее значение автоколебаний равно заданному значению: y_ср=y_зад, следовательно, ошибка y_уст в установившемся режиме равна нулю.

Найдем теперь период автоколебаний Т_а.

(65)

,

где T_min и T_max – промежутки времени, в течение которых регулирующее воздействие имеет соответственно минимальное и максимальное значения.

Уравнение участка экспоненты от произвольной точки t=t₀, y₀=y(t₀):

(66)

,

где Y_ - установившееся значение при t.

С учетом (66) для переднего фронта автоколебаний АВ (рис. 35) можно записать:

(67)

Записывая (67) для моментов t₂ и t₃ и вычитая полученные выражения друг из друга, находим:

(68)

,

откуда

(69)

.

Аналогично для заднего фронта автоколебаний ВС справедливо выражение:

(70)

.

Поступая с выражением (70) так же, как с (67), получаем

(71)

,

откуда

(72)

П

(73)

одставляя (69) и (72) в (65), находим

При приближенных расчетах формулу (73) можно упростить, линеаризуя функцию разложением в степенной ряд:

(74)

С учетом (74) (73) можно записать в виде:

или окончательно

(75)

При y_зад ³ y_max-e T_max, как видно из (69), а следовательно, и T_a=¥. Аналогично, при y_зад £ y_min+e T_min на основании (72), а значит, и T_a также становятся бесконечными. Это объясняется тем, что для возникновения автоколебаний рассогласование должно попеременно изменять свой знак на противоположный и превышать по амплитуде половину зоны возврата. При выполнении же приведённых выше условий знак рассогласования остаётся постоянным (регулятору как бы не хватает запаса регулирующего воздействия). Поэтому для обеспечения нормальной работы двухпозиционного регулятора заданное значение регулируемой величины должно лежать в средней части диапазона регулирования:

(76)

Поскольку неравенство (76) должно выполняться при любых значениях возмущений, влияющих на величину y_min и y_max, значения x_min и x_max должны быть выбраны с определённым запасом.

В случае, когда задание точно соответствует середине диапазона регулирования:

,

период автоколебаний достигает своего минимального значения

.

При этом

,

т.е. имеют место симметричные автоколебания (длительность переднего фронта равна длительности заднего фронта). При смещении y_зад вправо или влево от середины диапазона регулирования период автоколебаний растёт за счёт роста T_max или T_min соответственно. При этом Т_а зависит только от величины приращения заданного значения относительно середины диапазона регулирования и не зависит от его знака.

Перейдём теперь к общему случаю при наличии чистого запаздывания в модели объекта регулирования. Графики автоколебаний и регулирующего воздействия для этого случая приведены на рис. 36. Наличие запаздывания в передаточной функции объекта приводит к отставанию регулируемой переменной на величину  (штриховая и сплошная линии на рис. 36). Вследствие этого моменты переключения регулирующего воздействия также сдвигаются на , что приводит к возрастанию амплитуды и периода автоколебаний.

Уравнение участка АС переходной характеристики:

Поступая так же, как и выше, находим

(77)

Уравнение участка DF:

,

откуда

(78)

Амплитуда автоколебаний:

,

или после преобразований:

(79)

Отметим, что при =0 выражение (79), как и следовало ожидать, вырождается в (64).

Упрощённую формулу для амплитуды автоколебаний (79) можно получить, используя линейную аппроксимацию экспоненциальной функции :

(80)

Как видим из (79), амплитуда А_а не зависит от y_зад (так как приращения AB и DE при изменении y_зад компенсируют друг друга, т.е. AB+DE=const) и пропорциональна  и D.

Поскольку ABDE, появляется смещение среднего значения автоколебаний относительно заданного на y_уст:

(81)

Тогда из определения ошибки y_уст находим:

(82)

При =0 или y_зад=(y_max+y_min)/2 (заданное значение регулируемой величины точно в центре диапазона регулирования) y_ср=y_зад.

T_max и Т_min найдём, подставляя в (69) и (72) вместо минимального и максимального значений амплитуды автоколебаний (y_зад-) и (y_зад+) их новые значения (y_зад--DЕ) и (y_зад++АВ):

(83)

(84)

Подставляя в (83) и (84) выражения (77) и (78), находим:

(85)

(86)

При =0 формулы (85) и (86) переходят в (69), (72).

Подставляя (85), (86) в (65) и обозначая

,

.

получаем

(87)

Упрощённую формулу для T_а можно получить, подставляя в формулу (75) вместо  (амплитуда колебаний при =0) приближённое значение амплитуды (80).

(88)

С помощью полученных соотношений (79), (80), (81), (82), (87), (88) можно выбрать настройки , x_max и x_min (если они не заданы), а также значение y_зад, обеспечивающие заданные требования к параметрам автоколебаний.