5. Безматричный распределенный расчет радиационного теплообмена

В разделах 2.3 и 2.4 настоящей работы описан принцип расчета исходящих и поглощаемых лучистых потоков на одном шаге времени. Для того чтобы от рассчитанных потоков перейти к температурам элементов на следующем шаге необходимо выбрать способ хранения полученных результатов расчета и метод интегрирования по времени.

2.5.1. Расчет радиационного теплообмена без использования матрицы угловых коэффициентов

В литературе широко представлен способ хранения результатов расчета лучистых потоков в виде матрицы угловых коэффициентов F [5, 93, 89, 75, 47]. Строка такой матрицы с индексом i представляют собой доли потока с i–го элемента, поглощенные во всей остальной модели. То есть, элемент матрицы представляет собой часть потока излучения с i–го элемента, поглощенного в j–м элементе. В соответствии с принятыми обозначениями, значение элемента матрицы рассчитывается по формуле

,

(2.18)

где

- количество пучков фотонов, испущенных i–м элементом и поглощенных в j–м элементе,

- общее количество пучков фотонов, испущенных i –м элементом.

Значение мощности излучения i–ого элемента, поглощающегося в j–м элементе, записывается следующим образом

,

(2.19)

где

- площадь l–ой грани i–ого элемента,

- количество граней i–ого элемента,

- поток излучения с l–ой грани в i–ого элемента.

Таким образом, суммарная мощность излучения, испущенного элементами модели и поглощенного в j–м элементе на одном шаге времени, получается суммированием по i выражения (2.19)

,

(2.20)

где

- количество элементов в модели.

Если в составе исследуемой системы количество элементов относительно невелико, и если решаемая задача позволяет принять допущение о том, что доли мощности излучения, поглощаемые в элементах модели будут оставаться постоянными во время интегрирования по времени, то выгодно перед началом интегрирования рассчитать матрицу F и затем, не пересчитывая, использовать ее в зависимости (2.20).

В случае же, если модель содержит большое количество элементов и/или угловые коэффициенты модели в процессе расчета меняются, то отдельно рассчитывать и хранить матрицу F становится не выгодно. Например, для модели, состоящей из 10000 элементов, объем оперативной памяти, необходимый для хранения матрицы угловых коэффициентов с точностью по 8 байт на один элемент матрицы, составляет 770 Мбайт. Для модели из 100000 элементов необходимый объем памяти составляет 76 Гбайт. Хранение матрицы такой размерности и операции с ней являются сложными задачами для современных персональных компьютеров.

В том случае, если требуется учесть переменность термооптических свойств, то пересчет матрицы нужно проводить после каждого изменения термооптических свойств, то есть после каждого шага по времени.

Дополнительные сложности появляются при учете пропускания излучения. Если в модели встречаются двумерные элементы с различными термооптическими коэффициентами на лицевой и тыльной сторонах, то тогда в некоторых случаях мощность с i-го элемента, поглощенная в j-м элементе, не равна мощности j-го элемента, поглощенной в i-м элементе. Это может произойти тогда, когда на пути излучения между i-м и j-м находится элемент, у которого одна сторона сильно отражает излучение и слабо его пропускает, а другая сторона сильно пропускает и слабо отражает. В этом случае большая часть излучения одного элемента, к примеру, i-го, отразится и не дойдет до j-го элемента, а большая часть излучения j-го дойдет до i-го элемента.

В этом случае коэффициенты и не будут равны друг другу, и матрица F перестанет быть симметричной. Тогда к ней станет затруднительно применять высокоэффективные методы сжатия, основывающиеся, например, на использовании разложения матрицы по собственным значениям [5].

Описанные причины существенно ограничивают использование матрицы угловых коэффициентов для расчета радиационного теплообмена на современных персональных ЭВМ в системах, представленных моделями с большим количеством элементов и/или моделями с переменными в процессе расчета термооптическими свойствами.

В настоящей работе предлагается метод расчета, позволяющий преодолеть указанные трудности. Для этого необходимо отказаться от расчета матрицы F перед началом интегрирования по времени. Вместо этого необходимо на каждом шаге по времени рассчитывать мощность поглощенного излучения с помощью выражения вида (2.19) с точностью, существенно меньшей той, которая необходима для расчета матрицы F, по следующей формуле

.

(2.21)

Формула (2.21) получается из (2.20) путем подставки в нее выражения для расчета значения углового коэффициента (2.18). Заметим, что единственным членом в зависимости (2.21), определяемым посредством статистических испытаний, является - количество пучков, поглощенных в j-м элементе. Количество пучков, излучаемых на каждом шаге по времени , количество граней i–ого элемента и их площади задаются в качестве исходных данных. Потоки излучения с граней i–ого элемента рассчитываются согласно выражениям (2.6) или (2.9).

То есть, статистические испытания необходимо проводить на каждом шаге по времени. Известно, что точность статистического расчета зависит от количества испытаний в степени 0,5. Отсюда следует, что, при сохранении точности расчета температурного поля в конце интервала интегрирования по времени, точность расчета выражения (2.21) может быть снижена в число раз, пропорциональное количеству шагов по времени.

Запишем это утверждение в виде формулы. Стандартное отклонение  случайной величины P, полученной по результатам испытаний, вычисляется следующим образом:

,

(2.22)

где

- значение величины, полученное по результатам i–ого испытания,

- среднее значение величины.

Из выражения (2.22) следует, что увеличение допустимого значения стандартного отклонения на порядок позволяет на два порядка сократить количество испытаний.

Предположим, что по формуле (2.22) вычисляется значение температуры в некотором элементе в конце интервала интегрирования. В случае если расчет проводится с использованием матрицы угловых коэффициентов, то значение соответствует числу пучков фотонов N, испускаемых элементами при расчете матрицы угловых коэффициентов. В том случае, когда расчет температурного поля производится без использования матрицы F , то количество испытаний равно количеству шагов по времени, умноженному на количество пучков, испускаемых на каждом шаге.

Таким образом, при сохранении заданной погрешности расчета, количество пучков, испускаемых элементом на каждом шаге времени, можно задавать меньшим числа пучков, испускаемых элементов для расчета матрицы F.

Заметим, что мощность излучения от m-го источника излучения, поглощаемого в i-ом элементе можно определить по зависимости, сходной с зависимостью (2.21)

.

(2.23)

где

- количество пучков, излученных m-м источником и поглощенных l-ой гранью i-ого элемента,

- общее количество пучков, излученных m-м источником,

- суммарная мощность m-го источника излучения, задается в явном виде.

Используя выражения (2.21) и (2.23), можно вычислить мощность того излучения, которое испускается всеми элементами модели и источниками излучения, и поглощается в элементе, см. зависимость (2.4).

Важным преимуществом метода расчета без хранения матрицы угловых коэффициентов в сравнении с традиционным методом является возможность расчета моделей с существенно большей детализацией. Размер матрицы F квадратично зависит от количества элементов модели. Таким же образом зависит от количества элементов и объем памяти ЭВМ, необходимой для решения задачи. В тоже время при отказе от хранения матрицы размер необходимой памяти растет линейно при увеличении количества элементов в модели.

Например, если доступный при проведении расчета объем памяти ЭВМ составляет 1 Гбайт, то в нем можно хранить матрицу модели с примерно элементами с точностью по 8 байт на элемент. В тоже время, при использовании безматричного метода количество элементов в модели может быть увеличено до .