Выпуклые функции

Определение 1. Функция , определенная на , называется выпуклой, если для любых и любого выполняется неравенство

. (1)

Если при и неравенство (1) выполняется как строгое, то функция называется строго выпуклой.

Определение 2. Функция , определенная на , называется вогнутой (строго вогнутой), если функция () является выпуклой (строго выпуклой).

Очевидно, что любая строго выпуклая (строго вогнутая) функция является выпуклой (вогнутой) функцией, но не наоборот.

Приведем некоторые операции допустимые в классе выпуклых функций.

Теорема 1. Пусть все функции , ,

выпуклы на , числа . Тогда функция также выпукла.

Доказательство. Пусть заданы векторы и число . Так как функции , выпуклы, то для всех выполняются неравенства

. Умножая эти неравенства на неотрицательные величины и суммируя их по , получим неравенство

.

Следовательно, . Что и требовалось.

Теорема 2. Пусть на определены функции

, . Если все – выпуклые, то функция также выпуклая.

Доказательство. Пусть заданы векторы и число . Так как функции выпуклы, то для всех выполняются неравенства

. Следовательно,

для всех . Из полученных неравенств имеем

то есть . Что и требовалось.

Приведем теоремы о суперпозициях выпуклых функций.

Теорема 3. Пусть функция определена на отрезке и является на нем выпуклой и неубывающей; функция выпукла на выпуклом множестве , , для всех . Тогда функция выпукла на .

Доказательство. Пусть , . Тогда в силу выпуклости функции на . Очевидно, что . Поэтому, а также в силу монотонности и выпуклости на , имеем

Следовательно, . Что и требовалось.

Теорема 4. Пусть – матрица размерности , – вектор размерности , – функция, определенная и выпуклая на многообразии

, . Тогда функция выпукла на .

Доказательство. Пусть заданы векторы и число . Тогда имеем

Что и требовалось.

Далее покажем, что выпуклость функции многих переменных можно установить, исследуя на выпуклость ее сужения на всевозможные прямые в . Выпуклость функции одной переменной установить зачастую значительно проще, чем выпуклость функции многих переменных.

Пусть заданы функция и векторы . Сужение функции на прямую определим следующим образом:

. (2)

Теорема 5. Функция является выпуклой тогда и только тогда, когда выпуклой является и функция , определенная по формуле (2) при любых .

Доказательство. Необходимость. Пусть – выпуклая функция, . Покажем, что функция также является выпуклой. Пусть . Тогда

Достаточность. Предположим, что для произвольных функция – выпуклая. Пусть и . Тогда

Что и требовалось.

Далее установим связь между выпуклыми множествами и выпуклыми функциями.

Пусть – некоторая константа. Множество называется лебеговым множеством функции .

Теорема 6. Пусть функция выпукла на . Тогда любое ее лебегово множество выпукло.

Доказательство. Пусть , . Тогда из и в силу выпуклости

.

Таким образом, , что и означает выпуклость множества .

Эта теорема устанавливает одностороннюю связь между выпуклыми множествами и выпуклыми функциями. Утверждение, обратное теореме 6, не имеет места.