1. Скільки розв'язків має задача Неймана для рівняння Лапласа?

2. Скільки розв'язків має задача Неймана для рівняння Пуассона?

3. Скільки розв'язків має задача Діріхле для рівняння Лапласа?

4. Скільки розв'язків має задача Діріхле для рівняння Пуассона?

5. Скільки розв'язків має третя крайова задача для рівняння Лапласа?

6. Скільки розв'язків має третя крайова задача для рівняння Пуассона?

7. Який фізичний зміст має перша крайова умова для рівняння струни?

8. Який фізичний зміст має друга крайова умова для рівняння струни?

9. Який фізичний зміст має третя крайова умова для рівняння струни?

10. Визначити тип рівняння другого порядку

11. Визначити тип рівняння другого порядку

12. Визначити тип рівняння другого порядку

13. Визначити тип рівняння другого порядку

14. Визначити тип рівняння другого порядку

15. Визначити тип рівняння другого порядку

16. Яка із заданих функцій є розв'язком рівняння ?

17. Яка із заданих функцій є розв'язком рівняння ?

18. Яка із заданих функцій є розв'язком рівняння ?

19. Яка із заданих функцій є розв'язком рівняння ?

20. Яка із заданих функцій є розв'язком рівняння ?

21. Яка із заданих функцій є розв'язком рівняння ?

22. Яка із заданих функцій є розв'язком рівняння ?

23. Яка із заданих функцій є розв'язком рівняння ?

24. Яка із заданих функцій є розв'язком рівняння ?

25. Яка з наведених задач не є коректною?

26. Яка з наведених задач не є коректною?

27. Яка з наведених задач не є коректною?

28. Для яких функцій справджується теорема про середнє значення по кулі?

29. Для яких функцій справджується теорема про середнє значення по cфері?

30. Якою формулою подається розв'язок задачі Коші для рівняння струни?

31. Якою формулою подається розв'язок задачі Коші для рівняння теплопровідності?

32. Якою формулою подається розв'язок задачі Діріхле для рівняння Лапласа в кулі ?

33. Для яких функцій справджується перша формула Гріна?

34. Для яких функцій справджується друга формула Гріна?

35. Для розв'язання якої задачі використовується метод парного продовження?

36. Для розв'язання якої задачі використовується метод непарного продовження?

37. Яке з наступних рівнянь є канонічною формою рівнянь еліптичного типу?

38. Яке з наступних рівнянь є канонічною формою рівнянь параболічного типу?

39. Яке з наступних рівнянь є першою канонічною формою рівнянь гіперболічною типу?

40. Яке з наступних рівнянь є другою канонічною формою рівнянь гіперболічного типу?

41. Рівняння є

42. Рівняння є

43. Рівняння є

44. Рівняння є

45. Скільки є різних задач Штурма-Ліувіля, які відповідають мішаним задачам для рівняння струни?

46. Метод відокремлення змінних розв'язання крайових задач для рівнянь струни, теплопровідності і Лапласа називається

47. Коливання струни описується рівнянням

48. Коливання мембрани описується рівнянням

49. Процес теплопередачі описується рівнянням

50. Процес дифузії описується рівнянням

51. Об'ємний потенціал задовольняє рівнянню

52. Гравітаційний потенціал описується рівнянням

53. Електростатичний потенціал описується рівнянням

54. Задача Діріхле є

55. Задача Неймана є

Числові методи

1. Наближене значення визначеного інтеграла можна обчислити:

2. Квадратну матрицю можна обернути:

3. У методі Гауса (схема єдиного ділення) зведення системи лінійних алгебраїчних рівнянь до трикутного вигляду — це:

4. В якій формі можна отримати розв’язок звичайного диференціального рівняння за методом Рунге-Кутта:

5. Ітерацією називається:

6. Похибка, що виникає внаслідок наближеного опису реальних процесів і неточного задання вихідних даних є:

7. Значуща цифра числа називаються вірною у широкому сенсі, якщо:

8. При додаванні і відніманні наближених чисел:

9. При піднесенні до степеня наближеного числа, похибка результату обчислюється так:

10. Нехай на відрізку містяться вузлів інтерполяції. Тоді найвищий степінь інтерполяційного полінома, побудованого на цьому відрізку, рівний:

11. Знайти абсолютну похибку наближеної рівності :

12. Всі цифри наближеного числа 0,0256 вірні у вузькому сенсі. Його відносна похибка рівна:

13. Добутком наближених чисел та є:

14. У результаті піднесення до кубу наближеного числа отримаємо:

15. Корінь рівняння відокремлений на відрізку . Згідно з методом хорд за початкове наближення беремо:

16. Рівняння розв'язуємо методом дотичних при за умов: . Початковим наближенням до кореня буде:

17. Відокремити корінь рівняння :

18. Функція задана значеннями (-1;-3), (0;-1), (1;7). Відповідний інтерполяційний поліном має вигляд:

19. Функція задана значеннями (0;1), (1;1,5), (2;1,3), (3;0). Тоді дорівнює:

20. обчислюється за формулою:

21. За формулою Сімпсона наближене значення визначеного інтеграла дорівнює:

22. Відокремте корені рівняння графічно і вкажіть їх кількість:

23. Відокремте корені рівняння аналітично і вкажіть їх кількість:

24. Дано рівняння . Для якої з ітераційних функцій метод простої ітерації не збігається до кореня рівняння :

25. Методом простої ітерації розв’язується рівняння . В якому вигляді слід представити рівняння, щоб ітерації збігалися:

26. Рівняння $f(x)=0$ розв’язується методом половинного поділу. Встановлено, що корінь міститься на відрізку [2;3]. Яку мінімальну кількість ітерацій слід виконати, щоб отримати корінь з точністю до $10^{-6}$ (вважається, що після завершення ітерацій в якості кореня береться середина відрізка):

27. Обчислення визначеного інтеграла називається формулою:

28. Побудований за точками (1;2), (2;3), (3;4), (4;5) поліном Лагранжа має вигляд:

29. Оцінка похибки формули трапецій:

30. Оцінка похибки формули Сімпсона:

31. Якщо покласти , то за формулою трапецій інтеграл з точністю до 0.01 наближено дорівнює:

32. Обчисліть за формулою трапецій з точністю до 0,01, поклавши :

33. Поклавши , знайти за методом Ейлера перше наближення до розв’язку рівняння при умові :

34. Поклавши , знайти за методом Ейлера перше наближення до розв’язку рівняння при умові :

35. Відокремте корені рівняння графічно і вкажіть їх кількість:

36. Поклавши , знайти за методом Ейлера перше наближення до розв’язку рівняння при умові :

37. Відокремте корені рівняння графічно і вкажіть їх кількість:

38. Побудувати многочлен, графік якого проходить через точки (2;3), (4;7), (5;9), (10;19):

39. За відомими значеннями функції (0;3), (2;1), (3;5), (4;7) знайти її значення в точці :

40. Побудувати поліном, графік якого проходить через точки (1;-7), (3;5), (4;8), (6;14):

Аналітична геометрія

1. Канонічне рівняння еліпса записують у вигляді:

2. Канонічне рівняння гіперболи записують у вигляді:

3. Канонічне рівняння параболи записують у вигляді:

4. При яких значеннях і вектори та будуть колінеарними:

5. Встановити вид чотирикутника з вершинами у точках , , , :

6. Обчислити скалярний добуток векторів , якщо , , , ,

7. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах і , якщо , ,

8. Написати рівняння прямої, що проходить через точки та :

9. Знайти точку , симетричну до точки відносно площини :

10. Відстань між точками та не перевищує

11. Загальне рівняння прямої на площині -- це рівняння виду , де:

12. Точка щодо кола розташована:

13. Задано вершини трикутника . Яке з наступних тверджень істинне: кут при вершині

14. Точка розташована відносно площини

15. Якщо , , то скалярний добуток цих векторів можна обчислити за формулою:

16. У загальному рівнянні прямої на площині -- це

17. Яка з наступних ліній має єдину вісь симетрії:

18. Яка з наступних ліній не має фокусів:

19. Яка з наступних ліній є обмеженою:

20. Прямі та перпендикулярні, якщо:

21. Вектори i колінеарні тоді і тільки тоді, коли:

22. Конічна поверхня -- це поверхня, утворена прямими, які:

23. Рівняння задає в просторі:

24. Рівняння задає в просторі:

25. Рівняння задає в просторі:

26. Середини сторін трикутника лежать у точках , , . Скласти рівняння сторони трикутника, яка проходить через точку .

27. Прямолінійні твірні поверхні другого порядку -- це прямі, які:

28. Знайти косинус кута між векторами i , де , , :

29. Площина, рівняння якої паралельна

30. Рівняння задає в просторі:

Алгебра і теорія чисел

1. Операція віднімання на множині дійсних чисел є:

2. Групою називається

3. Напівгрупа з одиничним елементом називається:

4. Число є:

5. Модулем комплексного числа називається число:

6. Теорему про нескінченність множини простих чисел називають теоремою

7. Яке з чисел є характеристикою деякого поля?

8. Кількість розв'язків конгруенції другого степеня оцінюють з допомогою символу

9. Записом комплексного числа в тригонометричній формі є:

10. Число є -кратним коренем многочлена , якщо:

11. Для того, щоб два многочлени мали спільний корінь, необхідно і достатньо, щоб:

12. Яка з множин утворює повну систему лишків за модулем 4:

13. Нетотожня конгруенція -степеня за простим модулем:

14. Неізоморфних груп порядку 5 є

15. Значення функції Ейлера -- це кількість невід'ємних цілих чисел,

16. Скільки розв'язків має конгруенція ?

17. Кільце містить дільники нуля, якщо

18. Група називається абелевою, якщо задана на ній бінарна операція є:

19. Скільки є цілих чисел, конгруентних з 1 за модулем 5?

20. Підстановкою на множині називається

21. Конгруенція має:

22. Скільки існує попарно неізоморфних груп порядку ?

23. Підгрупи якого порядку містить циклічна група порядку 7?

24. Теорема Вільсона стверджує, що

25. Чому дорівнює кількість натуральних чисел, які не перевищують натурального числа і діляться на просте ?

26. Яка з конгруенцій правильна?

27. НСД натуральних чисел i дорівнює:

28. Для знаходження НСД двох цілих чисел використовують

29. Скільки елементів містить симетрична група ?

30. Яка з наступних груп є циклічною?

31. Порядок групи дорівнює:

32. Скільки існує абелевих груп, які містять неабелеву підгрупу?

33. Для того, щоб напівгрупа була групою, необхідно і достатньо, щоб вона була

Диференціальна геометрія і топологія

1. Напрямним вектором дотичної до регулярної кривої є

2. Нехай деяка гладка параметризація поверхні в околі точки . Дотична площина до поверхні у цій точці проходить у напрямі векторів

3. Елементарна крива - це

4. Крива називається гладкою, якщо

5. Точка кривої, у якій збігаються дві вітки кривої, кожна з яких має одну і ту ж півдотичну, називається

6. Для плоскої кривої площина її розташування є

7. Головна нормаль кривої в точці - це нормаль, що

8. Бінормаль кривої в точці - це нормаль, що

9. Натуральною параметризацією кривої називається

10. Кривина кривої --- це

11. Скрут кривої - це

12. Еволюта плоскої кривої - це

13. Яка з наступних поверхонь є елементарною?

14. Особлива лінія на регулярній поверхні - це

15. Перша квадратична форма поверхні

16. Координатні лінії на поверхні з першою квадратичною формою перетинаються під прямим кутом якщо і тільки якщо

17. Однакову першу квадратичну форму мають

18. Дискримінант другої квадратичної форми поверхні, обчислений у точці , менший за нуль. Точка

19. Нормальною кривиною поверхні у точці у напрямі є

20. Індикатриса Дюпена в еліптичній точці поверхні є

21. Головні напрями на поверхні - це напрями, в яких

22. Головні кривини поверхні --- це

23. Напрям на поверхні називається асимптотичним, якщо

24. Гаусовою кривиною поверхні називається

25. Лінійно зв'язний простір --- це топологічний простір, у якому

26. Добуток множин та складається з

27. Топологічний простір, у якому виконано аксіоми та , називається

28. З наступних топологій на множині гаусдорфовою НЕ є

29. Топологія на множині складається з

30. Топологія на множині є метризовною

31. Топологічний простір називається сепарабельним, якщо

32. Простір, з кожного покриття якого відкритими множинами можна обрати скінченне підпокриття, називається

33. Нормальним простором є кожен

34. Сукупність всіх точок дотику множини називається

35. Якщо метричний простір є повним і цілком обмеженим, то він

36. Якщо у множині метричного простору міститься деяка куля з центром , то точка називається

37. Точка , кожен окіл якої перетинається і з множиною , і з її доповненням у просторі , належить до

38. Якщо відображення між топологічними просторами є неперервним, то для кожної відкритої множини її повний прообраз

39. Метричний простір називається повним, якщо

40. Дискретна метрика на довільній неодноточковій множині набуває значення

41. Множина у є компактною, якщо і тільки якщо вона

42. Дві множини у топологічному просторі називаються відокремленими, якщо

43. Топологічний простір називається незв'язним, якщо

44. Стандартна відстань між точками та у обчислюється як

45. З наступних функцій метрикою на є

46. З наступних сімей підмножин множини топологією на є

47. Куля радіуса у просторі з дискретною метрикою завжди

48. Якщо замінити довільну метрику на метрику , де , то кожна куля з центром і радіусом

49. База довільної топології завжди

Лінійна алгебра

1. Система лінійних рівнянь сумісна, якщо ранг її розширеної матриці:

2. Сумісна система лінійних рівнянь визначена, якщо ранг її розширеної матриці:

3. Методом Крамера можна знайти розв'язок:

4. Матричним методом можна знайти розв'язок:

5. Визначник матриці не зміниться, якщо:

6. Визначник добутку двох матриць:

7. Як зміниться визначник матриці, якщо в ньому поміняти два рядки місцями:

8. Як зміниться визначник матриці, якщо її транспонувати:

9. До квадратної матриці існує обернена матриця лише тоді, коли

10. Матриці і називають подібними, якщо:

11. Визначник квадратної матриці дорівнює нулю, якщо

12. Обчислити визначник матриці

13. Обчислити ранг матриці

14. Знайти ранг нульової квадратної матриці -ого порядку:

15. Знайти ранг одиничної матриці -ого порядку:

16. Підпростір лінійного простору -- це:

17. Базис лінійного простору це множина його елементів, які:

18. Розмірність лінійного простору дорівнює

19. Вкажіть правильну рівність для розмірності суми підпросторів та деякого лінійного простору :

20. Матриця переходу від одного базису до іншого деякого лінійного простору є:

21. Яке з наступних перетворень лінійного простору є лінійним оператором:

22. Яке з наступних перетворень лінійного простору є лінійним оператором:

23. Який з наведених нижче векторів належить ядру оператора

24. Знайти ядро лінійного оператора тривимірного простору, який проектує вектори на площину :

25. Для лінійного оператора , який заданий на просторі виконується рівність:

26. Ненульовий вектор є власним вектором лінійного оператора , якщо:

27. Власні значення лінійного оператора ( -- його матриця в деяуому базисі) знаходимо з рівняння:

28. Який з наведених нижче векторів є власним вектором лінійного оператора

29. Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного виду базується на:

30. Метод Якобі зведення квадратичної форми до канонічного виду базується на:

31. Визначити тип квадратичної форми :

32. Квадратична форма називається додатньовизначеною, якщо:

33. Квадратична форма називається від'ємновизначеною, якщо:

Дискретна математика

1. Скільки трицифрових чисел можна утворити з цифр (число не може починатися нулем; цифри можуть повторюватися).

2. Знайти перетин множин і

3. Для множин та знайти

4. Вкажіть формулу потужності декартового добутку скінченних множин:

5. Вкажіть формулу потужності об'єднання двох скінченних множин:

6. В барі є 7 інгредієнтів для створення коктейлів. Згідно вимог коктейль повинен містити більш, ніж 5 інгредієнтів. Скільки різних коктейлів може створити бармен?

7. Формула бінома Ньютона має вигляд:

8. Відношення називається відношенням еквівалентності, якщо воно:

9. Яке відношення розбиває множину, на якій воно задане, на класи, що не перетинаються між собою?

10. Відношення називається відношенням нестрогого часткового порядку, якщо воно є:

11. Відношення називається відношенням строгого часткового порядку, якщо воно є:

12. Яке з відношень на множині є відношенням еквівалентності?

13. Як позначають повний граф?

14. Граф називається регулярним, якщо:

15. Скільки ребер має повний дводольний граф

16. Повний граф є дводольним

17. Скільки різних слів (не обов'язково змістовних) можна утворити зі слова КНИГА, переставляючи букви місцями?

18. Сума степенів всіх вершин неорієнтованого графа:

19. Деревом називається зв'язний граф:

20. Якщо ациклічний граф має 30 вершин і 27 ребер, то він є:

Математична логіка

1. -значна булева функція приймає значення хиби на наборах значень пропозиційних змінних. Скільки досконалих елементарних конюнкцій входить до складу її досконалої дизюнктивної нормальної форми?

2. Схема MP-правила умовиводу (правило умовиводу modus ponens) має вигляд:

3. Із наведених систем логічних операцій: функціонально неповною є система:

4. Серед наведених формул 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) , тавтологіями є формули під номерами:

5. Формула алгебри висловлень приймає хибні значення лише на наборах значень пропозиційних змінних , що записані у лексикографічному порядку під номерами:

6. Формула алгебри висловлень називається тавтологією:

7. Формула алгебри висловлень називається суперечністю:

8. Формула алгебри висловлень називається виконуваною:

Теорія функцій комплексної змінної

1. Обчислити -- відрізок прямої

2. Обчислити інтеграл за допомогою лишків

3. Північний полюс на сфері при стереографічній проекції є образом:

4. є

5. Для збіжності ряду одночасна збіжність рядів і є

6. на множині комплексних чисел приймає значення

7. Для диференційовності функції в точці диференційовність та в точці та виконання рівностей є

8. Визначити тип кривої

9. Подати у алгебраїчній формі

10. Знайти радіус збіжності ряду

11. Відомо, що радіус збіжності ряду дорівнює Що можна сказати про радіус збіжності ряду

12. Розвинути в ряд за степенями функцію

13. Для того, щоб ізольована особлива точка була усувною, обмеженість функції в деякому проколотому околі точки є

14. Обчислити інтеграл

15. Обчислити інтеграл за допомогою лишків

16. Обчислити інтеграл за допомогою лишків

17. Розвинути в ряд Лорана в проколотому околі точки функцію

18. Відновити аналітичну в околі точки функцію за дійсною частиною якщо

19. Функція яка має в деякій області неперервні частинні похідні до другого порядку включно і задовольняє рівняння Лапласа називається

Теорія міри і інтеграла

1. З наступних чотирьох тверджень про канторову множину виберіть правильне:

2. Множина точок на площині обмежена лініями: , , , . Знайдіть плоску міру Лебега цієї множини:

3. Серед наступних чотирьох вимог до функції множини вкажіть ту, котра не стосується загального означення міри множини:

4. Функція визначена на вимірній множині . З наступних чотирьох тверджень виберіть те, з котрого не випливає вимірність на цій множині:

5. Серед функцій , визначте кількість вимірних за Лебегом на відрізку [-1;1] функцій:

6. З наступних чотирьох тверджень виберіть твердження, справедливе як для інтеграла Лебега, так і для інтеграла Рімана по відрізку :

7. Визначте повну зміну (варіацію) функції на відрізку

8. Послідовність вимірних функцій на множині скінченної міри збігається за мірою до функції . Тоді:

9. Якщо множини , , відкриті, то серед наступних тверджень неправильним є твердження:

10. Якщо функція монотонна на деякому відрізку, то серед наступних тверджень неправильним є твердження:

11. Обмежену зміну на заданому відрізку має кожна:

12. Для інтеграла Рімана нехарактерним є аналог такої властивості інтеграла Лебега:

13. Обчисліть інтеграл Лебега по відрізку для функції

Функціональний аналіз

1. Норма вектора у просторі дорівнює

2. Кут між векторами та дорівнює

3. Повний метричний простір завжди

4. Нескінченна послідовність елементів компакта завжди

5. Замкнений підпростір компакта є завжди

6. Послідовність вкладених куль повного метричного простору завжди має непорожній перетин, якщо

7. Відображення повного метричного простору в себе називається стискуючим, якщо де

8. Стискуюче відображення метричного простору в себе

9. Образ компакту при неперервному відображенні завжди

10. Неперервна функція на компакті завжди

11. Нехай та --- елементи нормованого простору. Вибрати правильне твердження

12. Норма вектора у просторі дорівнює

13. Норма вектора у просторі дорівнює

14. Норма лінійного функціонала дорівнює

15. Норма лінійного функціонала дорівнює

16. Норма лінійного функціонала дорівнює

17. Норма лінійного функціонала дорівнює

18. Норма лінійного функціонала дорівнює

19. Тотожній оператор на банаховому просторі є компактним

20. Оператор на банаховому просторі є неперервним тоді і тільки тоді, коли він є

21. Лінійний неперервний функціонал у підпросторі нормованого простору можна продовжити на весь простір зі збереженням норми

22. Лінійний оператор на банаховому просторі буде мати неперервний обернений тоді і тільки тоді, коли

23. Узагальнена функція має похідну

24. Нехай --- характеристична функція відрізка Тоді похідна функції в сенсі узагальнених функцій дорівнює

25. Множина регулярних точок (резольвентна множина) лінійного неперервного оператора на банаховому просторі завжди

26. Значення для оператора на банаховому просторі , , , буде

27. Норма лінійного функціонала дорівнює

Варіаційне числення

1. За якої умови першу варіацію (за Лагранжем) функціоналу в точці називають диференціалом Ґато в цій точці?

2. Для найпростішої варіаційної задачі умова стаціонарності (рівняння Ейлера), крайові умови, підсилена умова Лежандра і підсилена умова Якобі в сукупності є ...

3. Яка з поданих оптимізаційних задач є ізопериметричною варіаційною задачею?

4. Вказати тип екстремуму функціоналу на просторі . Якщо існує -окіл кривої такий, що для всіх , то криву називають точкою ...

5. Яке з поданих тверджень є істинним?

6. Що можна стверджувати про диференціали Ґато і Фреше диференційовного в точці функціоналу ?

7. Яка з поданих функцій не є допустимою для варіаційної задачі

8. Яка з поданих функцій є екстремаллю варіаційної задачі

9. Яка з поданих функцій є екстремаллю варіаційної задачі

10. Для екстремуму функціоналу в точці умови є ...

11. Нехай і - множина неперервно диференційовних функцій таких, що . Тоді якщо і тільки якщо ...

12. Розв'язком якого рівняння є екстремаль варіаційної задачі

13. Обчислити першу варіацію (за Лагранжем) функціоналу на кривій .

Теорія ймовірностей

1. Добутком двох випадкових подій є подія, яка полягає в тому, що:

2. Сумою двох випадкових подій є подія, яка полягає в тому, що:

3. Протилежною до суми двох подій є подія, яка полягає в тому, що:

4. Протилежною до добутку двох подій є подія, яка полягає в тому, що:

5. Ймовірність суми двох подій і обчислюється за формулою:

6. Ймовірність добутку несумісних подій дорівнює:

7. Ймовірність добутку незалежних подій дорівнює:

8. За формулою повної ймовірності ймовірність події дорівнює ( -- повна група подій):

9. Формула Байєса має вигляд ( --повна група подій):

10. Функцією розподілу випадкової величини є функція:

11. Щільність розподілу випадкової величини --- це функція , для якої ( -- функція розподілу):

12. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини з розподілом є:

13. Математичне сподівання неперервної випадкової величини з щільністю розподілу дорівнює:

14. Випадкова величина має нормальний розподіл з параметрами і . Які із тверджень є правильними? 1) щільність розподілу має вигляд ; 2) щільність розподілу має вигляд ; 3) 4)

15. Коефіцієнтом кореляції двох випадкових величин і є число, рівне:

16. Диспетчер обслуговує три телефонні лінії. Ймовірність того, що протягом години звернуться по першій лінії, становить 0,3, по другій -- 0,4, по третій -- 0,6. Яка ймовірність того, що протягом години диспетчер отримає виклики з рівно двох ліній?

17. Виробництво певної продукції може проводитись в двох температурних режимах з ймовірностями 0,45 і 0,55 відповідно. Залежно від температурного режиму ймовірність отримання продукції вищої якості становить 0,8 і 0,9. Яка ймовірність того, що навмання вибрана продукція вищої якості?

18. Випадкова величина задана функцією розподілу Знайти ймовірність того, що при випробуванні випадкова величина набере значення з інтервалу (2;6)

19. У групі 15 студентів, серед яких 8 відмінників. Навмання вибрано 9 студентів. Знайти ймовірність того, що серед вибраних студентів буде 6 відмінників.

20. На відрізку [-1;2] навмання взято два числа. Яка ймовірність того, що їх сума більша за 1, а добуток менший за 1?

Математичний аналіз

1. Функція буде неперервною в точці при рівному

2. Якщо перехід від прямокутних координат до сферичних здійснюється за формулами , , , то якобіан цього відображення дорівнює:

3. Якщо хоча б одна з односторонніх границь дорівнює або , то пряму називають

4. Обчислити границю

5. Обчислити границю

6. Обчислити границю

7. Обчислити границю

8. Обчислити границю

9. Обчислити границю

10. Обчислити границю

11. Обчислити границю

12. Обчислити границю

13. Обчислити границю

14. Обчислити границю

15. Обчислити границю

16. Обчислити границю

17. Обчислити границю

18. Обчислити границю

19. Обчислити границю

20. Обчислити границю

21. Обчислити границю

22. Обчислити границю

23. Обчислити границю

24. Обчислити границю

25. Обчислити границю

26. Обчислити границю

27. Обчислити границю

28. Обчислити границю

29. Обчислити границю

30. Обчислити границю

31. Обчислити границю

32. Обчислити границю

33. Обчислити границю

34. Обчислити похідну

35. Обчислити похідну

36. Обчислити похідну

37. Обчислити похідну

38. Обчислити похідну

39. Обчислити похідну

40. Обчислити похідну

41. Обчислити похідну

42. Обчислити похідну .

43. Послідовність називається нескінченно малою, якщо

44. Сума раціональних чисел не може бути числом

45. Неперервна на компакті функція є на цьому компакті

46. Якщо на інтервалі , то графік функції на цьому інтервалі

47. Якщо функція неперервна за сукупністю змінних, то вона

48. З існування і рівності повторних границь функції у точці

49. , якщо

50. Неперервність функції у точці для диференційованості функції у даній точці є :

51. --- рівняння:

52. Дві нескінчено малі при функції i називаються еквівалентними, якщо:

53. 

54. 

55. Графік функції можна побудувати, якщо по відношенню до графіка функції здійснити:

56. 

57. Область визначення функції

58. Область визначення функції

59. Якщо , то

60. 

61. Знайти похідну функції , що задана неявно рівнянням .

62. Знайти частинну похідну функції , що задана неявно рівнянням .

63. Вкажіть правильний вислів.

64. Узагальнений гармонійний ряд збіжний при:

65. Числовий ряд , , збіжний при:

66. Для числового ряду умова є

67. Вкажіть правильний вислів.

68. Нехай функціональний ряд складається з неперервних на функцій. Сума ряду є неперервною на функцією, якщо

69. Знайти множину збіжності степеневого ряду .

70. Знайти множину збіжності степеневого ряду .

71. Розклад функції в ряд Маклорена має вигляд

72. Рядом Тейлора для функції в околі точки називають степеневий ряд

73. Зв'язок між ейлеровим інтегралом I роду (бета-функція) та ейлеровим інтегралом II роду (гама-функція) виражається формулою

74. Змінити порядок інтегрування в інтегралі .

75. Змінити порядок інтегрування в інтегралі .

76. Площу плоскої фігури обчислюють за формулою

77. Об'єм вертикального циліндричного тіла, що має своєю основою плоску область на площині обмеженого зверху поверхнею обчислюють за формулою

78. Функція , якщо , є

79. Нехай для довільного виконується . Якщо збіжний, то

80. Функції і

81. Обчислити границю

82. Обчислити границю

83. Функція неперервна в точці , якщо:

84. Похідну функції , яка задана параметрично як , обчислюють за формулою

85. Функція рівномірно неперервна на множині , якщо

86. Обчислити границю

87. Нехай --- радіус збіжності степеневого ряду . Цей ряд завжди збіжний на множині

88. Ейлеровий інтеграл II роду (гама-функція) володіє властивістю

89. Радіус збіжності степеневого ряду обчислюють за формулою

90. Із будь-якої обмеженої послідовності можна вибрати

91. Функціональна послідовність є рівномірно збіжною на множині до функції тоді й лише тоді, коли

92. Нехай функція неперервна на відрізку диференційовна на інтервалі і Тоді

93. Нехай функція неперервна на відрізку диференційовна на інтервалі Тоді

94. Якщо функція диференційовна в точці то вона

95. 

96. Якщо функція диференційовна в точці і має в точці екстремум, то

97. 

98. 

99. 

100. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд

101. Ряд є

102. Обчислити інтеграл від функції за скінченною областю що обмежена частиною параболи і прямою

103. Вкажіть правильний вислів.

104. Вкажіть правильний вислів.

105. Обчислити подвійний інтеграл .

106. Обчислити подвійний інтеграл , де область --- прямокутник, обмежений лініями , , , .

107. Обчислити подвійний інтеграл , де область --- круговий сектор, обмежений лініями (заданими в полярній системі координат) , , .

108. Обчислити криволінійний інтеграл другого роду від точки до точки вздовж прямої .

109. Визначити інтервал збіжності степеневого ряду .

110. Визначити область збіжності функціонального ряду .

111. Функціональна послідовність , де , збігається на множині при до функції

112. Знайти похідну функції

113. Знайти значення , якщо .

114. Знайти значення , якщо

115. Знайти похідну функції .

116. Знайти похідну функції

117. Знайти похідну функції .

118. Знайти похідну функції .

119. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями , , .

120. Графік функції симетричний відносно прямої до графіка функції

121. Нехай --- парна функція, а --- непарна функція. Вкажіть, яка з функцій є парною

122. Невласний інтеграл

123. Інтеграл заміною зводиться до інтеграла

124. Інтеграл заміною зводиться до інтеграла

125. Коефіцієнт при ряду Маклорена функції дорівнює

126. Коефіцієнт при ряду Маклорена функції дорівнює

127. Функція на інтервалі

128. Функція на інтервалі

129. Знайти область збіжності функціонального ряду .

130. Функція є первісною для функції . Вкажіть, яка з функцій є первісною для

Математична статистика

1. Знайти надійний інтервал з надійністю 0,95 для математичного сподівання нормального розподілу, якщо вибірка містить 100 значень, точковою оцінкою математичного сподівання є , а дисперсія цього розподілу дорівнює 4.

2. Знайти надійний інтервал з надійністю 0,95 для дисперсії нормального розподілу, якщо вибіркове середньоквадратичне відхилення дорівнює , об'єм вибірки -- 21.

3. Знайти незміщену оцінку дисперсії генеральної сукупності, якщо вибірка містить 50 значень, сума вибіркових значень дорівнює 10, а сума їх квадратів -- 84.

4. За даною згрупованою вибіркою знайти незміщену оцінку математичного сподівання генеральної сукупності.

5. Точкова оцінка параметра розподілу генеральної сукупності називається незміщеною, якщо:

6. Точкова оцінка параметра розподілу генеральної сукупності називається слушною (консистентною), якщо:

7. Точкова оцінка параметра розподілу генеральної сукупності є ефективною, якщо:

8. Інтервальною оцінкою параметра розподілу генеральної сукупності з надійністю є інтервал:

9. Інтервальною оцінкою (надійним інтервалом) для математичного сподівання нормального розподілу з надійністю є:

10. Інтервальною оцінкою (надійним інтервалом) з надійністю для дисперсії нормального розподілу є ( -- квантиль порядку розподілу Пірсона ( ) з ступенями вільності (свободи)):

мм