1 Метод преобразования комплексного чертежа

При решении многих позиционных и метрических задач целесообразно заданный комплексный чертеж преобразовать в новый так, чтобы одна из геометрических фигур заняла бы частное положение, и искомый элемент определялся бы достаточно просто.

Рассмотрим метод замены плоскостей проекций при неизменном положении в пространстве заданных геометрических фигур.

Сущность метода замены плоскостей проекций показана на рис. 1. Плоскость П₂ заменена новой плоскостью П₄П₁. При этом появилась новая ось проекций х₁₂ и новая проекция точки А – А₄. Проекция А₂ заменена проекцией А₄. Первоначальная система плоскостей проекций х(П₂/П₁) преобразована в новую систему х₁(П₄/П₁).

При построении чертежа линии проекционной связи перпендикулярны соответствующей оси проекции (А₁А₂оси х; А₁А₄оси х₁) и координата z точки А (АА₁=А₂А_х=А₄А_х1) остается постоянной.

Если необходимо, чтобы прямая общего положения а заняла бы частное положение прямой уровня относительно новой плоскости проекций, то х₁ должна быть параллельно одной из проекций прямой (х₁а₁ или х₁а₂).

Рис. 1 Рис. 2

На рисунке 2 плоскость П₂ заменена на плоскость П₄ так, что прямая а, заданная отрезком АВ стала параллельна плоскости П₄. Новая ось х₁ параллельна А₁В₁ (х₁а₁). Проекции А₄ и В₄ строятся по координатам А₄А_х1 = = А₂А_х и В₄В_х1 = В₂В_х. Проекция А₄В₄ является натуральной величиной отрезка [AB].

На рис. 3 плоскость общего положения , заданная следами (_п1,_п2) после преобразования чертежа стала перпендикулярной новой плоскости проекций П₄. Ось х₁_П1=h₁ и К₄К_х1 = К₂К₁. Проекция плоскости на плоскость П₄ строится по точкам К₄ и _х1.

Рис. 3

Если необходимо преобразовать систему плоскостей проекций так, чтобы заданная плоскость общего положения стала плоскостью уровня (параллельной новой плоскости проекций), то необходимо последовательно заменить сначала П₂ на П₄ (х₁h₁), чтобы плоскость заняла проецирующее положение относительно плоскости П₄(_П4), а потом П₁ на П₅ (х₂А₄В₄С₄). На рис. 4 двойной заменой плоскостей проекций определена истинная (натуральная) величина АВС = А₅В₅С₅. Обратить внимание, что А₅А_х2 = =А₁А_х1, В₅В_х2 = В₁В_х1 и С₅С_х2 = С₁С_х1.

Рис. 4

2 Метод вспомогательных секущих плоскостей и поверхностей

Эти методы применяются при решении позиционных задач на пересечение геометрических фигур.

2.1 Пересечение прямой линии с плоскостью

На рис. 5 решена задача пересечения прямой общего положения а (а₁,а₂) с плоскостью общего положения, заданной АВС. Решение задачи выполняется в следующей последовательности:

• через прямую а (а₁,а₂) проводится вспомогательная секущая плоскость Q (в данной задаче Q – фронтально-проецирующая плоскость, которая изображается своим фронтальным следом Q_П2 = а₂);

• определяется линия пересечения плоскости Q и заданной плоскости (АВС). Плоскость Q пересекает (АВС) по прямой q: фронтальная проекция линии пересечения q₂ совпадает с фронтальным следом плоскости Q - Q_П2, горизонтальная проекция q₁ искомой линии q строится по принадлежности этой линии плоскости (АВС) – по проекциям точек 1 и 2, где 1₂ = Q_П2  (А₂В₂)1₁, 2₂ = Q_П2  (В₂С₂)2₁.

• искомая точка пересечения К (К₁,К₂) определяется пересечением прямых а и q. На чертеже а₁  q₁  К₁. Фронтальная проекция К₂ находится по свойству принадлежности точки К прямой а (К₂  а₂, К₂q₂).

Для определения видимости прямой на горизонтальной проекции использованы горизонтально конкурирующие точки 3(АС) и 5а, у которых 3₁ = 5₁. Сравнивая положение проекций 3₂ и 5₂ определяем, что точка 5 находится выше точки 3, следовательно, при взгляде сверху видимой будет прямая а(а₁) до точки К(К₁). Для определения видимости прямой на фронтальной проекции использованы фронтально конкурирующие точки

1 (АВ) и 4  а, у которых 1₂ = 4₂, но точка 1(1₁) ближе к наблюдателю чем точка 4( 4₁), и, следовательно, прямая а(а₂) будет невидима до точки К(К₂).

На рис. 6 эта же задача решена при условии задания плоскости  следами. Видимость прямой определяется тем же способом, что и в предыдущем примере.

Рис. 5 Рис. 6