Приемы вычислений.

1). Умножение и деление числе оканчивающихся нулем: 20*3, 3*20, 60:3, 80:20.

В данном случае вычисления сводятся к выражению числе в десятках: 30*2=3 дес. * 2= 6 дес. = 60. При делении 2 способа: 1=й тот же, 2-й-заключается в подборе частного и проверяется умножением. Во втором случае ребенок возможно не сразу подберет верную цифру частного, это означает, что проверка будет выполнена не один раз.

2). Прием умножения двузначного числа на однозначное: 23*4, 4*23.

При умножении актуализируются след. знания и умения:

23*4 =(20+3)*4(разрядный состав числа; деление суммы на число)= 20*4(умножение целых десятков)+3*4(таблица умножения) = 80+12(сложение двузначных чисел)=92.

В случае 4*23 выполняется перестановка множителей и тот же алгоритм.

3). Прием деления двузначного на однозначное: 48:3, 48:2.

-//-//-// 48:3= (30+18) (сумма удобных слагаемых) :3(деление суммы на число)=30:3 (деление целых десятков) + 18:3 (таблица деления)=10+6(разрядное сложение) = 16.

В случае 48:2 , раскладывать на разрядные слагаемые и тот же алгоритм.

4). Прием деления двузначного числа н двузначное: 68:17. (прием подбора частного и связь элементов деления и умножения). 2*17=34меньше 68

3*17= 51меньше68

4*17=68=68, значит 68:17=4.

Сложность данного приема в том, что подобрать верное число частного не всегда возможно сразу и требует несколько проверок подобранных чисел, что требует достаточно сложных вычислений. целью облегчения вычислений могут быть использованы 2 приема:

1). ориентировка на последнюю цифру делимого

2).прием округления.

Первый прием подразумевает что при подборе возможной цифры частного ребенок ориентируется на знание таблицы умножения, сразу перемножая подобранную цифру и последнюю цифру делителя. Н-р, 68:17. Возьмем по 3: 3*7=21, последняя цифра 1, значит нет смысла умножать на 3. Берем по 4. 4*7=28, и в 28 и в 68 последняя цифра 8, значит стоит проверить и умножить 17 на 4: 17*4=68.

Второй прием предполагает округление делителя и подбор цифры частного с ориентиром на округленный делитель. н-р, 68:17 ,делитель 17 округляется до 20. Примерная цифра частного 3 при проверке дает число 60, а оно меньше 68, значит следует проверить число 4.

Эти приемы позволяют сократить затраты сил и времени при выполнении вычислений данного вида ,но требует хорошего знания таблиц умножения и умения округлять. целые числа оканчивающиеся цифрами 0 – 4 округляются до ближайшего десятка, отбрасывая эти цифры. н-р, 12, 13 округляют до 10. А числа оканчивающиеся цифрами 5 – 9 округляются до ближайшего целого десятка в большую сторону. Н-р, 15,16,17 до 20.

21). Тема « Деление с остатком» предваряет знакомство с письменным алгоритмом деления (в столбик). Знакомство происходит в 3 этапа. 1-й «раскрытие конкретного смысла действия деление с остатком». Конкретный смысл действия деления в общем смысле раскрывается через выполнение конкретных операций с предметными множествами: разбиение множества на равночисленные подмножества. Для того чтобы показать детям, что при таких операциях не всегда возможно разбиение на равночисленные подмножества, учитель демонстрирует все это полностью на наглядной основе. Н-р, 17 карандашей разложили в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке? В результате практического распределения карандашей по коробкам дети приходят к выводу, что полностью такое распределение не возможно. Остаются 2 карандаша, которые нельзя поровну распределить в 3 коробки. На основании вывода подобных задач учитель вводит новую запись 17:3=5 (остаток 2). и поясняет, что действие, записанное таким образом называют «деление с остатком». В данной записи 17-делимое, 3-делитель, 5-неполное частное от деления 17 на 3, 2 – остаток. Важно обратить внимание учащихся на то, что в ответе 2 числа. 2-й этап «вывод правила об остатке». Устанавливается соотношение между остатком и делителем на наглядной основе:

5:2=2(ост 2).

6:2=3(ост 0).

7:2=3 (ост 1). В результате наблюдений делается вывод: делитель во всех случаях один, но остаток разный. Но он меньше делителя. Учитель вводит правило: при делении остаток всегда должен быть меньше делителя. Следует обратить внимание на то, что у каждого делителя может быть только определенное количество остатков. Для закрепления понимания этой закономерности используются задания вида: какой остаток может получится при делении на 2, 3,4; Ученик выполнил деление:144:15=8(ост 24). В чем его ошибка?; найди делимое в примерах; найди делитель.

3-й этап «знакомство с общим правилом деления с остатком». Для того чтобы проверить правильно ли выполнено деление нужно:

- Умножить неполное частное на делитель

- к полученному произведению прибавить остаток

В буквенном эквиваленте это выглядит так: A:B=Q (ост R) , ТОГДА A= Q*B+R

Для нахождения результатов деления с остатком в начальной школе используют 2 основных приема:

1). При делении вида 27:5 основным приемом нахождения результата является опора на таблицу умножения. В качестве неполного частного подбирается число, ближайшее к 27 и делится на 5.

2). При делении вида 85:15 – прием подбора частного с проверкой, поскольку этот случай не может опираться на таблицу умножения. В этом случае примерную цифру частного следует подбирать до тех пор пока она приумножении на делитель не даст число ближайшее к делимому.

При этом важно рассмотреть случай вида 3:4. В данном случае учитель говорит, согласно общему правилу деления с остатком в значении частного будет 0, а в остатке число 3.

22). Под произведением 2-х неотрицательных чисел а и б понимают некоторое неотрицательное число с, такое что:

а). если б ˃ 1, то а*б=с т.е. сумме б(бе) слагаемых каждое из которых равно а. ( 1-й множитель – это одинаковые слагаемые, 2-й –это их количество).

2). б=0, то под произведением понимают само число а.

3). если б=0, то по аксиоме произведение равно 0.

Произведение – это частный случай суммы, в котором все слагаемые одинаковы и повторяются не менее 2-х раз. Знакомство с умножением начинается во 2 классе. 1 этап – подготовительный. Обращать внимание на особенности суммы с одинаковыми слагаемыми начинается в 1 классе в процессе выполнении я упражнений и заданий, акцентированием внимания на примерах с одинаковыми слагаемыми. Объяснение идет на полной наглядности. Непосредственно перед введением действия умножения необходимо провести работу, в результате которой суммы с одинаковыми слагаемыми выделятся в отдельную группу. для этого предлагаются задания вида: дан рисунок, на одном 12 предметов и на другом, но на первом они расположены как 3 и 4 и 5, а на другом 4и4и4. И задаются вопросы: чем похожи; чем отличаются; каким действием можно узнать, сколько элементов на рисунках; запиши и найди значение этих выражений: 3+4+5=12 и 4+4+4=12. После дается задание типа: запишите суммы похожие на суммы, составленные по 2-му рисунку. Или предлагаются детям рад выражений, в которых есть суммы с одинаковыми слагаемыми и нет, нужно разделить эти суммы на 2 группы. 2-й этап – основной. Раскрытие смысла действия умножения. Начинать работу необходимо с мотивации. Предлагается зада вида: в д.сад в котором 5 групп привезли мячи по 2 в каждую группу. Сколько мячей привезли? Делается рисунок к задаче и записывается решение в виде суммы. Задаются вопросы: посмотрите на запись, какие слагаемы? Сколько их? А если групп будет больше, удобно ли будет находить значение выражений? Уч-ся говорят что нет и учитель вводит новое действие, которое облегчит нахождение выражений подобного вида – это умножение. Говорится что умножение позволяет длинную запись заменить короткой. Посмотрите на запись. Какое число повторяется? (2). Запишем его на первом месте. А сколько раз повторяется число 2?(5). Запишем количество повторений рядом с числом 2. Между ними поставим знак умножения – это точка. Читают запись так: 2*5=10 по 2 взяли 5 раз или 2 умножить на 5. Важно еще раз обратить внимание детей на то, что обозначает каждое число в записи выражения. Закреплять на заданиях типа: замени сумму произведением и наоборот. После усвоения этого преобразования происходит знакомство с компонентами. 2*5=10. 2 и 5 –это множители, 2*5 – это произведение, 10 –это значение произведения. На закрепление задания типа: среди выражений найди такие, в которых первый(второй) множитель равен 3,4,5; составь произведение в котором 2 (1) множитель равен 6,7,3, выбери выражения в которых знач. произведения равно 6,8, 10; как называется число 5 в записи; множители 2 и 5, значение произведения?3-й этап – отработка, закрепление.

в 3 классе уч-ся знакомятся с правилом взаимосвязи компонентов умножения, которое является основой для обучения нахождению неизвестных компонентов умножения при решении уравнений: если произведение разделить на один множитель, то получится другой множитель. Однако, данное правило не является обобщением представлений ребенка о способах проверки действия умножения. Правило проверки результатов умножения рассматривается в учебнике позже – после знакомства с внетабличным умножением и делением. Это объясняется тем, что данное правило является основой составления таблицы деления. Поскольку предполагается что к этому моменту таблицу умножения уже выучили наизусть, то нет необходимости в проверке результатов. Есть только необходимость быстро вспомнить нужное третье число по двум данным. при выполнении устного внетабличного умножения, требуется применение достаточно сложного алгоритма, необходима проверка, поскольку многие дети часто ошибаются в этих случаях. Правило проверки действия умножения:

1) произведение делят на множитель.

2). сравнивают полученный результат с другим множителем. Если эти числа равны, то умножение выполнено верно. Например, 18*4=72. 1)72:4=18. 2). 18=18

23). В основе формирования вычислительной деятельности ребенка в пределах первой тысячи лежат следующие закономерности, законы и правила арифметических действий:

1. Принцип построения натурального ряда чисел используется для случаев, позволяющих опираться на прием присчитывания и отщитывания по 1: 655+1, 999+1, 600-1, 760-1.

2. Разрядный и десятичный состав трехзначных чисел является основой для выполнения действий сложения и вычитания целыми разрядами: 340-40, 650-50, 790-700, 530+20 и др.

3. Правила арифметических действий, с которыми дети знакомятся в концентре «сотня»:

а) перестановка слагаемых: 7+34345+7

б). группировка слагаемых: 235+56+15=235+15+56

в).правило прибавления числа к сумме: 340+20=(300+40)+20=300+60=360

г). правило прибавления суммы к числу: 360+48=360+40+8=408

д). правило прибавления суммы к сумме: разряд складываем с разрядом. Основа для письменных вычислений.

е). то же самое и для вычисления.

Устные приемы сложения и вычитания в пределах первой тысячи изучаются в 3 классе в след. порядке:

1. нумерационные случаи:

а). Случаи вида: 345+1, 560+1, 560-1, 400-1

При выполнении вычислений ссылаются на принцип построения натурального ряда чисел: при прибавлении получаем след. число, при вычитании предыдущее.

б). случаи вида: 650-50, 650-600, 345-5, 350+30. Опираются на знание разрядного состава чисел.

2.сложение и вычитание целых сотен

сложение и вычитание вида 300+200 и 900-500 являются первым вычислительным приемом, с которого начинается формирование устных вычислений в пределах 1000. Для освоение этого приема важно знать разрядный состав трехзначного числа. 300 – это 3 сот, а 200 – это 2 сот=3+2=5 сот=500. Вычисления в этом случае сводится к табличным вычислениям в пределах 10.

3. Сложение и вычитание целых десятков, приводящее к действиям в пределах 1000

это вычисления вида: 70+60, 140-80. Для первого: 7дес.+6дес.=7+6=13дес=130. Аналогично и для второго. случаи сводятся к табличным случаям вычислений в пределах 20.

4. сложение и вычитание целых десятков, приводящее к действиям в пределах 100

случаи вида: 450+30 и 450-300

вычисления могут выполнятся двумя способами:

а). на основе знаний разрядного состава трехзначного числа: 450+30=400+80=480

б). использование правила прибавления числа к сумме и вычитания числа из суммы:

450+30=400+(50+30)=480.

Аналогично используются и правила прибавления и вычитания суммы к(из) числу: 500+150=(500+100)+50=650.

В основе вычислений лежит хорошее знание разрядного состава и устных вычислительных приемом в пределах 10, 20 и 100.

24). Разрядные случаи сложения и вычитания. Случаи вида 10+2, 2+10, 12-2, 12-10. При нахождении знач. данных выражений ссылаются на десятичный состав: 12-10=(10+2)-10=2 или 2+8+3=10=3=13(выполняем действие слева направо, так же и при вычитании). Переход через десяток. : 8+5 и 13-7. Алгоритм сложения: 1). второе слаг. расклад. на составные части так, чтобы одна из частей в сумме со вторым слагаемым составляла 10. 2). первое слаг. склад. с частью 2-го слаг. образуя промежуточное число 10. 3). к промежуточном числу 10 прибавляем оставшуюся часть. Для овладения приемом ребенок должен: уметь быстро подбирать необходимый случай разложения т.е. знать состав однознач. чисел; уметь дополнять любое однознач. число до 10 и выполнять разрядное сложение в пределах второго десятка. Если у детей возникают трудности при освоении этого навыка можно использовать линейку или счеты. Некоторые считают по пальцам. Методически рекомендуется довести приемы вычисления до автоматизма. С этой целью на каждом уроке этой темы дается по 3 случая заучивания наизусть. Н-р, 9+2=11, 9+3=12, 9+4=13. Для облегчения заучивания как «базу» используют суммы с одинаковыми слагаемыми: 7+5= 5+2+5= 12. Алгоритм вычитания: 14-9= 14-4- 5=5. 1). Вычитаемое раскладывают на составные части таким образом чтобы при вычитании из уменьшаемого получилось 10; 2). образуем промежуточное число 10. 3). из промежуточного числа вычитаем оставшуюся часть. Детям нужно знать: уметь быстро подбирать необходимый случай разложения; выполнять разрядное вычитание в пределах 20; выполнять вычитание в пределах 10. Для облегчения используют те же предметы. Другой способ вычитания: 16-9= (10+6)-9= 10-9+6=1+6=7. Данные случаи так же заучиваются, а для облегчения используют суммы с одинаковыми слагаемыми: 16-7=(8+8)-7=1+8=9.

25). Прием 60+20, 50-30 – сложение и вычитание целыми десятками. Для освоения нужно хорошо представлять десятичный состав числа: 60 – это 6 дес. и т.д. Прием 34+20, 34+2 – прибавл. единиц или десятков без перехода через десяток. 34+20=30+4+20=54: разрядный состав двузнач. числа, сложение целых десятков и единиц в пределах 10. Прием 26+4. = 20+6+4=20+10=30: разрядный состав, сложение кругл. десятков и в пределах 10. Прием 48-30, 48-3 – вычитание единиц или десятков бе перехода через десяток: 48-30=40+8-30=10+8=18: разрядный состав, вычитание целых десятков, разрядное сложение. Прием 30-6- вычитание единиц из целых десятков с заемом одного десятка: 30-6=20+10-6=20+4=24: десятичный состав, вычитание в пределах 10, разрядное сложение. Прием 46+5 – прибавление единиц с переходом через десяток: 46+5=40+6+5=40+11=40+10+1=51: разрядный состав, сложение однознач. с переходом через десяток, слож. круглых и разрядное сложение. Прием 42-5 вычитание единиц с переходом через десяток: 42-5= 42-2-3= 40-3=30+10-3= 30+7=37 либо 42-5=(32+10)-5=32+5=37. Прием 45-12 – вычитание двузначных без перехода через десяток: 45-12=(40+5)-(10+2)=(40-10) + (5-2)= 30+3=33. Прием 40-16 –вычитание двузнач. из целых десятков с заемом десятков: 40-16=(30+10)-(10+6)=(30-10)+(10-6)=20+4=24. Прием 37+48 – сложение двузнач. с переходом через десяток: 37+48=30+7+40+8=70+15=85. Прием 37+53 сложен. двузнач. с получ. в результате целых десятков: 37+53=30+7+50+3=80+10=90.

26).

27). алгоритм расскажешь сама. Отличие письменного сложения от устного заключается в порядке складывания (или вычитания) разрядных единиц. При устных всегда начинают со старших разрядах и выполняют д-е слева направо. При письменных всегда с единиц и справа налево.

28).