2. Процесс измерения площади фигуры

Д опустим, нужно измерить площадь фигуры М.

М

Выберем произвольный квадрат Е и назовем его единичным. Е

Квадрат Е, как и все остальные, имеет площадь. Площади единичного квадрата Е поставим в соответствие положительное действительное число 1. Записывают: S(Е)  1 или m_Е(Е)=1 (мера площади фигуры Е при единице измерения Е равна 1).

Выясним, из скольких квадратов Е состоит фигура М. Для этого разделим площадь фигуры М на площадь квадрата Е. При этом могут получиться различные случаи:

Случай 1. Фигура М состоит из целого числа квадратов Е.

Тогда m_Е(М) N. Можно записать: S(M) 9 или m_Е(М) = 9. Процесс измерения закончен.

Случай 2. Фигура М не состоит из целого числа квадратов Е.

Тогда m_Е(М) N. Получили, что площадь фигуры М больше площади фигуры, состоящей из 9 квадратов Е. Можно оценить приближенно по недостатку: 9 < m_Е(M).

В этом случае необходимо перейти к новой единице измерения Е₁, которая представляет собой квадрат, сторона которого составляет десятую долю стороны квадрата Е.

Н о тогда Е₁  Е₁  ...  Е₁ = Е Е₁ = Е

100 слагаемых

S(E₁) m_E(E₁)=

Подсчитаем, из скольких квадратов Е₁ состоит фигура М. Опять могут получиться различные случаи.

Случай 2.1. Фигура М состоит из целого числа квадратов Е₁. Тогда m_Е1(М)N. Например, m_Е1(М)= 534. Перейдем к прежней единице измерения Е, используя свойство мультипликативности меры:

m_Е(M)=m_Е1(M) m_Е(Е₁)=534  = 5,34.

Процесс измерения закончен.

Случай 2.2. Фигура М не состоит из целого числа квадратов Е₁. Тогда m_Е1(М)N. Например, 534 < m_Е1(М) или, переходя к прежней единице измерения: 5,34<m_Е(М).

П роцесс измерения не закончен, поэтому необходимо вновь ввести новую единицу измерения - квадрат Е₂, сторона которого составляет десятую долю стороны квадрата Е₁ или сотую долю стороны квадрата Е. Е₂  Е₂  Е₂  ...  Е₂= Е Е₂ = Е

10⁴ слагаемых

S(E₂) m_E(E₂) =

Подсчитаем, из скольких квадратов Е₂ состоит фигура М. Опять могут получиться различные случаи: Случай 2.2.1. Фигура М состоит из целого числа квадратов Е₂. Тогда m_Е2(М)N. Например, m_Е2(M)= 54003.

Перейдем к прежней единице измерения, используя свойство мультипликативности меры:

m_Е(М) = m_Е2(М)  m_Е(Е₂) = 54003  = 5,4003.

Процесс измерения закончен.

Случай 2.2.2. Фигура М не состоит из целого числа квадратов Е₂.

Например, 54003 < m_Е2(М) или, переходя к прежней единице измерения, 5,4003 < m_Е2(М).

Процесс измерения не закончен, поэтому необходимо вновь ввести новую единицу измерения – квадрат Е₃, сторона которого составляет тысячную долю стороны квадрата Е, то есть

S(E₃) m_E(E₃) = .

Далее продолжаем процесс измерения по аналогии.

Таким образом, в общем случае:

1. Если фигура М состоит из целого числа квадратов Е, то мера площади фигуры М при единице измерения Е выражается натуральным числом. Например, m_Е(М)=9. Если этого не произошло, то выбрать новую единицу площади и продолжать процесс измерения.

2. Если фигура М состоит из целого числа некоторых 102n-долей единичного квадрата Е, то мера площади фигуры М выражается конечной десятичной дробью, которую определяют с помощью свойства мультипликативности меры. Например, mЕ(М)=5,34.

3. Если фигура М не состоит из целого числа никаких 102n - долей единичного квадрата Е, то процесс измерения бесконечен, и мера площади фигуры М при единице измерения Е выражается бесконечной десятичной дробью. Например, mЕ(М)=5,45276468....

Замечание:

1. Фигуры А и В называются равными если они совпадают при наложении.

2. Фигуры А и В называются равновеликими если их площади равны.

3. Фигуры А и В называются равносоставленными, если они равны объединению одних и тех же фигур.

Например, на рисунке фигуры А и Г – равные, все фигуры А, Б, В, Г – равновеликие (S=5 кв.ед.), все фигуры А, Б, В, Г – равносоставленные.