18. Площадь фигуры и её измерение.

2. Площадь фигуры как положительная скалярная величина

2.1. Этапы введения величины «площадь фигуры»

Введем положительную скалярную величину «площадь фигуры».

1 этап. Пусть  - множество плоских геометрических фигур, которые имеют внутреннюю область и замкнутую границу.

2 этап. На  зададим бинарное отношение .

(M₁,M₂)M₁M₂ <=> «при наложении фигуры M₁ и M₂ совпадают».

В этом случае фигуры M₁ и M₂ будем называть равными. Данное отношение является отношением эквивалентности, так как оно рефлексивно, симметрично и транзитивно одновременно.

3 этап. Отношение  разбивает множество  на классы эквивалентности.

1) каждый класс не пуст (в нем есть хотя бы одна фигура);

2) классы эквивалентности не пересекаются;

3) каждый класс состоит только из тех фигур, которые совпадают при наложении, т.е. из равных;

4) объединение всех классов равно исходному множеству .

4 этап. На  введем бинарную операцию «состоять из».

Фигура М состоит из фигур М₁ и М₂ , если М = М₁  М₂ с точки зрения точечных множеств, и фигуры М₁ и М₂ не имеют при этом общих внутренних точек, но имеют общие граничные точки.

Н апример, допустим М = М₁  М₂

1 ) 3) М₁ М₂ М₁ М₂

М = М₁  М₂ М = М₁  М₂

2) 4)

М₁ М₂ М₁ М₂

М  М₁  М₂ М  М₁  М₂

5 этап. Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие величину, называемую площадью фигуры данного класса.

Обозначим S(M) – площадь фигуры М.

Из пяти приведенных этапов следует:

1. Каждая фигура имеет площадь.

2. Равные фигуры имеют равные площади.

Так как площадь фигуры - положительная скалярная величина, то она подчиняется всем аксиомам положительных скалярных величин.

Аксиома 1.

Площади любых двух фигур А и В можно сравнить (наложением). В результате получим одно из трех утверждений:

1) S(A)=S(B); 2) S(A)<S(B) 3) S(A)>S(B),

где S(A)- площадь фигуры А, S(B)- площадь фигуры B.

Аксиома 2

П лощади любых двух фигур можно складывать. В результате получим площадь новой фигуры.

Е

А

В

сли S(A)- площадь фигуры А,

S(B)- площадь фигуры B, то S(A) + S(B) = S(AВ).

AВ

Аксиома 3

Из площади большей фигуры можно вычесть площадь меньшей фигуры. В результате получим площадь новой фигуры.

С В

A= СВ

А

S(A) - S(B) = S(С), т.е. получим площадь фигуры С такой, что A = СВ.

Аксиома 4

Площадь любой фигуры можно умножить на положительное действительное число. В результате получим площадь новой фигуры.

А

А

А

А

S(A)  4 = S(В)

В

Аксиома 5

Площадь любой фигуры можно разделить на площадь другой фигуры. В результате получим положительное действительное число.

В

В

В

В

В

В

S(A): S(В) = 6

А