12. Понятие «задача на построение». Этапы решения задач на построение.

Задачей на построение называется предложение, указывающее по каким данным, какими средствами (инструментами) и какой геометрический образ (точку, прямую, окружность и т.д.) требуется найти (начертить, построить на плоскости, наметить на местности) так, чтобы этот образ удовлетворял определенным условиям.

К задачам на построение относятся те, в которых по заданным геометрическим фигурам требуется построить искомую геометрическую фигуру, обладающую заданными свойствами.

Основные средства построения - циркуль и линейка. Линейка считается односторонней (делений на ней нет и наносить их нельзя).

Процесс решения задачи на построение совершается по определенному алгоритму. Классическая схема решения состоит из четырех этапов: 1) анализ;

2) построение;

3) доказательство;

4) исследование.

1. Анализ. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он дает ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертеж можно выполнять "от руки". Иногда построение вспомогательного чертежа сопровождают словами: "предположим, что задача уже решена".

2. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или ранее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена. Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем постановленным в задаче условиям. Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.

4. Исследование. Имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.

13. Основные задачи на построение школьного курса геометрии (построить отрезок, равный данному; угол, равный данному; найти середину отрезка; построить биссектрису данного угла; построить прямую, перпендикулярную данной или параллельную ей и проходящую через данную точку; построить треугольник по трём сторонам).

Основные построения

При решении задач на построение встречаются наиболее частоупотребимые задачи, при помощи которых решаются более сложные. Эти задачи условились называть основными, рассматривать отдельно и ссылаться на них при рассмотрении процесса построения в более сложных задачах. Всего основных задач на построение - тринадцать.

1) разделить данный отрезок на два равных отрезка;

2) разделить данный угол на два равных угла, или, что то же самое, провести биссектрису; 3) построить на данной прямой от данной точки в данном направлении отрезок, равный данному;

4) построить угол с вершиной в данной точке с данной стороной угла по указанную сторону от нее и равный данному углу;

5) построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой; 6) построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой;

7) построить треугольник по трем сторонам;

8) построить треугольник по двум сторонам и углу между ними; 9) построить треугольник по стороне и двум углам, прилежащим к ней;

10) построить прямую, касательную к данной окружности и проходящей через данную точку вне этой окружности;

11) построить прямоугольный треугольник по двум катетам,

12) построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе,

13) построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.