Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

20

Рис. 9

Подставим найденные значения в формулы для аналитического расчета моментов и получим

Таким образом,

Mx (P) = a Psinα;

My (P)= -a P tgα tgβ; Mz (P) = -a P tgβ.

21

Графо-аналитический способ

Вычислим момент силы P относительно оси Ox. Сила P лежит в плоскости ABK, которая перпендикулярна оси. Из точки A пересечения оси с этой плоскостью опускаем на линию действия силы перпендикуляр. Из треугольника ABK найдем длину этого перпендикуляра h = a sinα. Составим произведение численного значения силы на длину перпендикуляра. Так как с положительного конца оси Ox мы видим вращение, которое стремится вызвать сила относительно оси, против хода часовой стрелки, то перед произведением ставим знак « + ». Таким образом Mx (P) = +P h = P asinα.

Вычислим момент силы P относительно оси Oy. Спроецируем силу P в плоскость ADEK, которая перпендикулярна оси Oy. Проекция силы будет направлена по прямой AK, а ее численное значение Pxz = Psinα. Из точки D пересечения оси с плоскостью ADEK опускаем на линию действия силы перпендикуляр DA. Как было найдено

ранее, DA = cosa α tgβ. Составим произведение численного значе-

ния проекции силы Pxz на длину перпендикуляра DA. Так как с положительного конца оси Oy мы видим вращение, которое стремится вызвать проекция силы относительно оси, по ходу часовой стрелки, то перед произведением ставим знак « – ». Таким образом,

My (P) = −Pxz DA = −Psinα cosa α tgβ = −a Ptgα tgβ.

Вычислим момент силы P относительно оси Oz. Спроецируем силу P в плоскость ABCD, которая перпендикулярна оси Oz. Проекция силы будет направлена по прямой BA, а ее численное значение Pxy = Pcosα. Из точки D пересечения оси с плоскостью ABCD

опускаем на линию действия силы перпендикуляр DA. Составим произведение численного значения проекции силы Pxy на длину

23

Fz = F1z + F2z = 0 - F2sinα = Fcosβsinα.

Подставим найденные значения в формулы для аналитического расчета моментов и получим

Mx (F) = 0 - a tgα Fcosβ cosα = -a cossinαα Fcosβ cosα = -a Fsinα cosβ; My (F) = a tgα Fsinβ- 0 = a Ftgα sinβ;

Mz (F) = 0 - 0.

Итак,

Mx (F) = −a Fsinα cosβ; My (F) = a Ftgα sinβ; Mz(F) = 0.

Графо-аналитический способ

Так как силу F мы разложили на две составляющие, то момент силы F будет равен сумме моментов силы F1 и F2 .

Вычислим момент силы F относительно оси Ox.

Mx (F) = Mx (F1 )+ Mx (F2 ) = 0 - F2 h = -Fcosβ asinα.

Момент Mx (F1 )= 0 , так как сила F1 параллельна оси Ox, а рас-

стояние от точки D до силы F2 - h. Если посмотреть с положительно-

го направления оси Ox, то сила F2 стремится вызвать вращение по ходу движения часовой стрелки. Поэтому перед моментом ставим знак « – ».

Вычислим момент силы F относительно оси Oy.

My (F) = My (F1 )+ My (F2 ) = F1 DE + 0 = Fsinβ a tgα.

Момент My (F2 )= 0 , так как линия действия силы F2 пересекает

ось Oy. Сила F1 лежит в плоскости Oxz. Если посмотреть с положительного направления оси Oy, то эта ось будет видна как точка D,

24

расстояние от нее до силы F1 - DE. Так как сила F1 стремится вызвать вращение против хода часовой стрелки, то знак момента « + ».

Вычислим момент силы F относительно оси Oz.

Mz(F)= Mz (F1 )+ Mz (F2 )= 0.

Mz(F)= 0 , так как линия действия силы F пересекает ось Oz. Итак, имеем

Mx (F) = -a Fsinα cosβ; My (F) = a Ftgα sinβ; Mz(F) = 0.

Оба способа дают один и тот же результат.

Моменты пары сил (Q,Q′)

Для простоты вычислений в качестве произвольных точек на ли-

нии действия пар сил выбираем точки K и B. Проведем вектор KB к

силе Q ' . Тогда момент пары (Q,Q′) запишется в виде

m = KB ×Q′.

a

Плечо пары d = KB = cosα .

Аналитический способ Запишем формулы для аналитического расчета моментов пары

сил(Q,Q′).

mx = (KB )y QZ′ - (KB )zQy′ ; my = (KB )zQx′ - (KB )x Qz′ ; mz = (KB )x Qy′ - (KB )y Qx′ .

Графо-аналитический способ

Построим вектор пары сил m . Для этого в любой точке, например K, плоскости действия пары проведем к ней перпендикуляр. Так как сверху мы видим вращение пары по ходу часовой стрелки, то по правилу правого винта направляем m вниз. По модулю он равен

m = Q d = Q cosa α .

Спроецируем вектор m на оси, тогда

mx = 0;

my = -m sinα = -Q cosa α sinα = -Q atgα;

mz = -m cosα = -Q cosa α cosα = -Q a.

Итак, в обоих случаях мы получили одинаковый результат

mx = 0;

my = -Q atgα; mz = -Q a.

28

Рис. 12