Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

280

Задача Д.9. Определение устойчивого положения равновесия механической системы с одной степенью свободы

Для механической системы (рис. 179 - 181), состоящей из однородных твердых тел и пружин, заданы: m1 ,m2 ,m3 - массы соответ-

ствующих тел; r, r1 ,r2, R, R1, R2 - радиусы цилиндров и цилиндри-

ческих поверхностей; c, c1, c2 - коэффициенты жесткости пружин;

l1, l2, l3, l4 - размеры весомых стержней.

В указанном положении механизм находится в равновесии, при этом примем, что промежуточные стержни и пружины не имеют массы; проскальзывание цилиндров и сопротивление движению отсутствуют; пружины в данном положении не деформированы.

Определить условие устойчивости заданного равновесного положения механизма, если c2 = 2c1.

Устойчивость положения равновесия

Равновесное положение механической системы может быть устойчивым и неустойчивым. Если механическую систему вывести из положения равновесия путем внешних возмущений и предоставить самой себе, после чего система возвращается в свое первоначальное состояние равновесия, то такое положение системы называют – устойчивое положение равновесия. Какие существуют условия такого состояния механической системы?

Для механической системы с одной степенью свободы в практике используется теорема Лагранжа-Дирихле1.

1 Дирихле Лежен (13.02.1805 – 5.05.1859). Немецкий математик, член Бер-

линской АН. Исследования относятся к теории чисел, математическому анали-

зу, теории уравнений математической физики.

281

Рис. 179

282

Рис. 180

283

Рис. 181

284

Положение равновесия консервативной механической системы с идеальными, склерономными, голономными связями является устойчивым, если потенциальная энергия в этом положении имеет строгий минимум.

Потенциальная энергия есть функция обобщенной координаты П = П(q ).

Решая это уравнение относительно q , находим то значение обобщенной координаты, при которой данная система может находиться в равновесии.

Это неравенство налагает условия на коэффициенты жесткости упругих элементов механической системы для ее устойчивого положения равновесия.

Но, если потенциальная энергия механической системы с s степенями свободы не имеет минимума, то как исследовать ее неустойчивость положения равновесия.

Этот вопрос исследовал А.М. Ляпунов (1857-1918), русский математик и механик, результаты исследования изложены в докторской диссертации: “Общая задача об устойчивости движения” (1892г).

Пусть потенциальная энергия есть функция нескольких обобщенных координат П = П(q1, q2,…, qs ). В общем виде разложим потенциальную энергию в ряд Маклорена2 до членов второго порядка малости.

2 Маклорен Колин (1698 – 14.06.1746). Шотландский математик, основные

исследования посвящены математическому анализу и геометрии.

285

При этом П0 = 0 - принимаем за нулевой уровень,

−Qi = ∂П = 0 - условие равновесия системы.

∂qi

Остается квадратичная функция потенциальной энергии

К примеру, если П = П(q1,q2 ), то квадратичная функция потен-

циальной энергии будет иметь вид

П = 21 (с11q12 + 2c12q1q2 + c22q22 ).

Первая теорема Ляпунова

Равновесие консервативной системы неустойчиво, если отсутствие минимума потенциальной энергии можно установить по членам второго порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд.

Вторая теорема Ляпунова

Равновесие консервативной системы неустойчиво, если потенциальная энергия имеет максимум и наличие можно установить по членам низшего порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд в окрестности положения равновесия.

Критерий Сильвестра3

Если квадратичная форма П′определенно положительна, т.е. вблизи положения равновесия потенциальная энергия будет положительной, а при q1 = q2 =…= qs = 0 , П(0 ) = 0 , то в этом положении будет строгий минимум, положение равновесия – устойчиво.

3 Сильвестор Джеймс Джозеф (3.09.1814 – 15.03.1897). Английский мате-

матик. Основные положения относятся к алгебре, теории инвариантов, теории

матриц, теоретической и прикладной кинематике.

286

Критерий устойчивого положения равновесия

Чтобы квадратичная форма П′ была определенно положительна, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы коэффициентов жесткости квадратичной формы П′ были положительны.

Необходимо и достаточно, чтобы

∆1 = c11 > 0,

∆2 = c11 c12 > 0, c21 c22

………………………

c11……c1s

∆s = ………… >0.

cs1……css

Пример решения задачи

Консервативная механическая система (рис. 182) находится в равновесии.

Дано: m1 - масса цилиндра 1; m2 - масса стержня 2, c1, c2 - ко-

эффициенты жесткости пружин (c2 = 2c1 ); r, R - радиусы цилинд-

ра 1 и цилиндрической поверхности; l = l1 + l2 - длина стержня 2. Пружины не напряжены и масса стержня AC равна нулю.

287

Определить условие устойчивости заданного равновесного положения механизма.

Рис. 182

Решение

За обобщенную координату принимаем угол φ между отрезками O1A и O1A1 при качении цилиндра 1 по цилиндрической поверхности.

При бесконечно малых углах отклонения φi можно записать следующие соотношения:

SB = 2SA = 2(R + r )φ; SA = SC = (R + r )φ; SC = (l1 + l2 )φ2 ;

В механической системе действуют консервативные силы:

288

P1 = m1g ; P2 = m2g - силы тяжести тел 1, 2; Fy1, Fy 2 - силы упругости пружин.

Вычисляем потенциальную энергию

П = П(с1) + П(с2 ) + П(P1) + П(P2 ),

П(с1) = −A(c1) = 21 c1λ12 .

При λ1 = SB = 2(R + r )φ

П(P1) = −A(P1) = P1h1, h1 = (R + r ) −(R + r )(1− cosφ).

Функцию cos φ разлагаем в ряд до членов второго порядка

289

Применяем теорему Лагранжа-Дирихле.

∂∂Пφ = 0.

Откуда

c1 > [m1(R + r ) + m2 (l1 + l2 )] g(l1 + l2 )2 .

2(R + r )2 2(l1 + l2 )2 + l22

При таком достаточном условии механизм будет находиться в устойчивом положении равновесия.