Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

В каждый момент времени активная сила F , сила реакции связи N и сила инерции Ф образуют систему уравновешенных сил, действующих на точку M. Равенство (2) выражает принцип Даламбера для материальной точки или, как его иногда называют, метод кинетостатики.

Так как система сил {F; N; Ф} эквивалентна нулю, то к ней можно применять уравнения статики. При этом сила инерции Ф по модулю равна Ф = ma и всегда направлена в обратную сторону от ускорения точки.

1.2 Механическая система

На k – тую точку механической системы (рис. 166) действуют внешняя Fke и внутренняя Fki силы.

Покажем силу инерции Фk , направив ее в обратную сторону от ak . Согласно принципу Даламбера для каждой точки Mk запишем соотношение

253

Рис. 166

Получим систему n – уравнений. Просуммируем эти уравнения

Главный вектор сил инерции, по модулю, определяется произведением массы системы на ускорение центра масс (RФ = maC) и направлен в обратную сторону от направления aс.

Теперь равенство (3) векторно умножим на радиус-вектор rk , который соединяет неподвижную точку O (инерциальная система отсчета) с материальной точкой Mk

254

256

На основании (6) MzФ = dKdtz , но Kz = Izω, тогда при Iz = const,

получим MzФ = Izε , где Iz – момент инерции тела (σ) относи-

тельно оси Oz.

Теперь рассмотрим случай (рис. 169), когда ось вращения Oz тела (σ) не проходит через центр масс (точку C).

Силы инерции тела (σ) приводятся в точку C к главному вектору RФ = RτФ + RnФ и главному моменту MСФz1 .

Рис. 169

в) Плоское движение твердого тела

Фигура (σ) перемещается поступательно с центром масс (точка C) и вращается относительно центра масс (рис. 170).

257

Рис. 170

Силы инерции приводятся в центр масс (точка C) к главному вектору RФ и главному моменту MФ . При этом

Вектор RФнаправлен в сторону обратную aс, MФ - в обратную сторону от ε.

2.Общее уравнение динамики

Если система находится в движении и имеет стационарные (склерономные), двусторонние (удерживающие) и идеальные связи, то сумма работ активных (заданных) сил и сил инерций на собственных возможных перемещениях равна нулю.

На рис. 171 показана механическая система, которая переме-

Теперь равенство умножим скалярно на δrk - возможное перемещение точки. Получим n - уравнений, а затем просуммируем все

258

Рис. 171

уравнения, получим

возможных перемещениях. Но при идеальных связях (по опреде-

n

лению) ∑δAkN = 0.

k =1

n

∑Фk δrk = δ AkФ - сумма работ сил инерций на воз-

k =1

можных перемещениях.

Теперь окончательно можно записать:

259

Уравнение работ (8) будет называться общим уравнением механики.

Пример решения задачи

На рис. 172 показана механическая система, состоящая из трех тел, соединенных между собой нерастяжимыми нитями.

Дано:m1 ,m2 ,m3 - массы тел; r2, R2, r3 - радиусы тел; F - ак-

тивная сила; a, g - углы; r2 - радиус инерции тела 2; f - коэффици-

ент трения скольжения тела 1; k - коэффициент трения качения тела 3.

Определить ускорение тела 1 ( a1).

Решение

Покажем ускорение тела 1 a1 в сторону действия силы F и

найдем ускорения тел 2 и 3, выразив их через a1.

Рис. 172