Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

aA = aAn + aAτ ,

(aAn aAτ ).

Модуль

aAn

= VA2

=

22

1,67м/ с2 .

ρ

2,4

Тогда

aA =

(aAn )2 + (aτA )2 = 1,672 +1,82 2,46м/ с2 .

tgµ =

aτA

=

1,8

=1,078 .

aAn

1,67

µ = 47,2o ,

aA = 2,46м/ с2 .

Угловое ускорение звена 1 определим по формуле

ε1

=

aτA

=

1,8 = 4,5с−2 .

ε1 = 4,5с−2 .

r1

0,4

a

= a

A

+ a n

+ aτ

;

C

C / A

C / A

– –

+ +

+ +

+ +

x:

a

= an

/ A

- a

A

sin µ ;

Cx

C

y:

aCy = aCτ

/ A + aA cos µ .

Тогда

a

= 30 − 2,46 sin 47,1o 28,2м/ с2 ;

Cx

a

= 5,4 + 2,46cos 47,1o 7,1м/ с2 .

Cy

a =

a2

+ a2

=

28,22 + 7,12 29,1м/ с2 . a = 29,1м/ с2 .

C

Cx

Cy

C

cos(a

;

) =

aCx

= 28,2

= 0,969.

(a ;

) =14,3o .

i

i

C

aC

29,1

C

x1:

a

= an

+ a

A

sin µ ;

Bx

B / A

1

y1:

aBy1

= aBτ / A - aA cos µ.

Тогда

a =10 + 2,46 sin 47,1o 11,8м/ с2 ;

Bx

1

a

= a2

+ a2

= 11,82 + 0,132 11,8м/ с2 . a

=11,8м/ с2

B

Bx1

By1

B

.

Косинус угла наклона aB к оси Bx1.

aBx

11,8

cosα =

1

=

1;

α = 0.

a

11,8

B

a = a + a n

+ aτ

,

D

B

D / B

D / B

– +

+ +

+ +

– +

x2:

a

cos30o = a

+ an

;

D

B

D / B

y2:

a

sin30o = aτ

.

D

D

/ B

Из первого уравнения находим aD .

a =

1

(11,8 + 3,3) 17,4м/ с2 .

a

=17,4м/ с2 .

D

cos30o

D

aDτ

/ B .

Из второго уравнения вычисляем

aτ

=17,4 sin30o

= 8,7м/ с2 .

D / B

Но aτ

= ε

2

l ,

откуда

ε

2

=

aDτ

/ B

= 8,7 = 2,9с−2 . ε

2

= 2,9с−2 .

D / B

2

l2

3

Все полученные результаты сводим в таблицу 9.

Таблица 9

vB

vC

vD

w1

w2

aA

aB

aC

aD

e1

e2

м/с

м/с

м/с

с-1

с-1

м/с2

м/с2

м/с2

м/с2

с-2

с-2

2,83

6,32

2,31

5

1,05

2,46

11,8

29,1

17,4

4,5

2,9

Номер

Уравнение

Уравнение относи-

Исходные данные

вари-

вращения

тельного движения

анта

тела 1

точки

(рис.

ϕ = ϕ(t), рад

OM = S = S(t), cм

t1,

b,

R,

α,

98-100)

с

cм

cм

град.

1

2t3 – t2

6sin(π t/4)

2/3

8

–

–

2

t + t2

4 +4sin(π t/6)

1

–

–

–

3

4t – t2

10π cos(π t/3)

1

10

20

–

4

t2 + t

10 sin(π t/6)

1

–

20

–

5

2t2 – t

8 cos(π t/3)

1

10

–

–

6

5t – 2t2

(15/8)π t3

2

10

30

–

7

2t + 0,5t2

10t3

1

10

–

–

8

3t2 – 3t

36π t2

1/3

–

16

–

9

4t – 2t2

3 + 14sin(π t)

1/4

–

–

60

10

0,6t2

10 sin(π t/6)

1

–

–

60

11

t – 0,5t2

20 sin(π t/3)

1/2

20

–

–

12

0,5t2

8t3 + 2t

1

4√ 5

–

–

13

t – t2

10t + t3

2

–

–

30

14

3t – 0,5t2

40π cos(π t/6)

2

–

30

–

15

t + t2

30 cos(π t/6)

2

–

–

–

16

0,2t3 + t

5√ 2 (t2 + t)

2

60

–

45

17

t + t2

30π cos(π t/3)

1

–

30

–

18

2t – 4t2

25π (t + t2)

1/2

–

25

–

19

t + 1,5t2

30π t2

1/3

–

10

–

20

4t – 2t2

10π sin(π t/3)

1/2

–

30

–

21

2t – 0,25t2

3t2 + 4t

2

–

–

30

22

2t – 0,3t2

75π (0,1t + 0,3t2)

1

–

30

–

23

0,5 t2

20π cos(π t/3)

1

R/2

40

–

24

3t – t2

15 sin(π t/3)

1

–

–

–

25

– 2t2

8 cos(π t/3)

1

–

–

45

26

1 – 0,5t3

10π cos(π t)

1/3

–

15

–

27

t3 – 8t

6(t + 0,5t2)

2

–

–

30

28

2t2 – 5t

2,5π t2

2

–

30

–

29

0,6t2

6√ 6 sin(π t/4)

4

30

–

30

30

2t2 – 3t

(5/2) t3

2

–

30

30

+ ξ

de1

+η

de2

+ χ

de3

.

dR

= ξ

+η

+ χ

e

e

e

dt

1

2

3

dt

dt

dt

Из рисунка видно, что

de1

de

2

2 ,

de3

3 - векторы скоро-

= v1,

= v

= v

dt

dt

dt

стей точек на конце ортов

2 и

3

при вращательном движении

e1,

e

e

тела (σ) вокруг полюса A. Используя формулу Эйлера

(v

= ω

×r ),

можно записать:

de1

×

;

2

=

de

2

×

;

3 =

de3

×

.

v1 =

= ω

v

= ω

v

= ω

e

e

e

dt

dt

e

1

e

2

dt

e 3

dR

Тогда

+ ω ) + ω

×(ξ e +η e

+ χ e ) .

dt

= (ξ e +η e + χ e

1

2

3

e

e

1

2

3

Величину

(ξ

+η

+ χ

+ ω

) =

dR

- называют

локальной

e

e

e

1

2

3

e

dt

производной

радиус-вектора

(производной относительно под-

R

=

+

+

вижной системы отсчета);

dR

-

абсолютная

dt

x

i

y

j

z

k

dR

= dR

+ ω

× R

dt

dt

e

.

(1)