Построенная таким образом матрица обладает 3 свойствами:

1. свойство ортогональности

Это свойство обеспечивает независимость нахождения коэффициентов .

Для того, чтобы найти оценку коэффициента . Матрицу плана дополняет вектор-столбец для фиктивной переменной x₀.(всегда x₀ = +1).

Для того, чтобы коэффициент a₀ определялся независимо от других коэффициентов необходимо чтобы вектор-столбец x₀ был ортогонален вектор-столбецам x_j матрицы плана:

Т.к. , то условие ортогональности (**) будет выполнятся в случае

Если посмотрим на вектор-столбец матрицы плана x_j, то заметим, что они обладают вторым свойством симметрии:

2. Свойство симметрии

Данное свойство обеспечивает независимость нахождения коэффициента a₀.

Если исходить из выражения , то можно заключить, что при одинаковой точности измерения. Точность оценки будет определяться значением, стоящим в знаменателе.

3. Свойство нормировки

(знаменатель у всех будет одинаковый)

Это свойство обеспечивает одинаковую точность определения оценок коэф-тов, в том числе и свободного члена a₀.

Если мы предполагаем, что модель содержит какое-либо взаимодействие, например x₁*x₃, то для оценки влияния этого взаимодействия необходимо найти коэф-т a₁₃.

Для этого матрица плана дополняют вектором-столбцом этого взаимодействия. Чередование знаков здесь определяется путём перемножения знаков вектор-столбцов, входящих множителями в этом взаимодействии.

Таким образом построенный вектор-столбец взаимодействия обладает 3-мя свойствами, что позволяет вычислить коэф. влияния взаимодействия исходя из выражения , можно найти оценки коэф. a₂ (например) на основании:

4.4 Дробовий факторний експеримент. Змішування оцінок. Вибір генеруючого співвідношення. Дробный факторный эксперимент (дфэ)

Если предполагаемая модель линейна и число взаимодействий не велико, то при большом числе факторов матрица полного факторного эксперимента (ПФЭ) будет обладать избыточностью. Т.к. пример: если мы предполагаем, что модель должна включать 5 факторов и 2 их линейных взаимодействия, то число искомых коэффициентов (5+2+1)будет 8.Число опытов (уравнений) в соответствии с матрицей ПФЭ

N_ПФЭ = 2⁵ = 32 (кол-во опытов которые нужно повторить)

в таких случаях реализуют некоторую часть матрицы ПФЭ кратную 2 , при этом основным условием является выполнения неравенства

(1)

-число искомых коэффициентов модели.

При чем берется определенная часть строк из матрицы ПФЭ исходя из того, что критерием оптимальности является независимость определения коэффициентов модели. Исходя из этого факторы условно разделяются на: основные и дополнительные.

Число дополнительных факторов р выбирается из условия (1).таким образом мы будем иметь n-p основных факторов. Для них строится матрица как для ПФЭ. Таким образом число опытов ДФЭ будет

Для выбора чередования знаков в вектор- столбце для дополнительного (-ных) факторов используется так называемая генерирующая состояния.

Генерирующее состояния(ГС) - это формальное равенство связывающее основные и дополнительные факторы и показывающее знаки каких независимых переменных необходимо перемножить, чтобы оценки коэффициентов а_j при факторах в первой степени определялись независимо.

Предположим, что модель имеет вид

предположим, что первый фактор дополнительный. Искомых коэффициентов 5.

Необходимо взять половину матрицы ПФЭ

j\k	x2	x3	x4	x1	x1x2	x2x4
1	-1	-1	-1	+1	-1	+1
2	+1	-1	-1	-1	-1	-1
3	-1	+1	-1	-1	+1	+1
4	+1	+1	-1	+1	+1	-1
5	-1	-1	+1	+1	-1	-1
6	+1	-1	+1	-1	-1	+1
7	-1	+1	+1	-1	+1	-1
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1

Подаем на вход Достраиваем матрицу плана для вычислений

j- № фактора

k- № столбца

Выберем - генерирующее состояния и это соотношение показывает

как нужно устанавливать значение дополнительного фактора (нижний или верхний уровни) при реализации опытов в соответствии с матрицей ДФЭ.

Ранее было установлено, что вектор- столбец взаимодействий будет ортогональным по отношению к вектор- столбцам - независимым переменным, кроме того этот вектор-столбец обладает еще 2 свойствами: симметрии и нормировки.

Следовательно построенная таким образом матрица ДФЭ обеспечивает независимое определение коэффициентов a_j и а₀ c одинаковой точностью.

При этом число опытов минимизировано, а для вычисления оценок коэф-тов используется уже известное соотношение

(2)

k – номер столбца.

Выбор ГС при чисто линейной зависимости без взаимодействующей можно осуществить произвольным образом, однако к этой процедуре необходимо подходить более осторожно, если предполагаемая модель содержит взаимодействия .

Предположим, что ранее рассмотренная модель не адекватна и в действительности имеет место взаимодействие

эти соотношения добавляются, поскольку модель не адекватна

Для того, чтобы вычислить коэффициенты взаимодействия модели необходимо матрицу плана дополнить векторами их взаимодействий .

Если рассмотреть дополнительную матрицу , то можно заметить, что чередование знаков в вектор- столбцах х₁х₂ и х₃ совпадают т.к. оценки коэф-тов определяются на основание выражения , где k- это №столбца.

То нельзя раздельно оценивать вклад в изменения выходной величины фактора х₃ и взаимодействия х₁х₂ . Это называется смешиванья оценок коэффициентов.

Мы можем оценивать только совместное влияние фактора и взаимодействия .

Чтобы избежать этого (если это возможно) необходимо перед построением матрицы и проведениям эксперимента проверить будет- ли смешана оценка влияния предполагаемого взаимодействия с оценкой влияния независимой переменной для этого на этапе планированья используется определяющий контраст(ОК), который является формальным равенством и показывает знаки каких, основных и дополнительных переменных необходимо перемножить, что бы во всех строках матрицы иметь +1.

ОК строят используя ГС, умножая обе части на его дополнительный фактор . В рассматриваемом примере ОК строиться следующим образом:

ОК ГC*х₁

где х_1-дополнительный фактор.

Или ОК:

Знак равенства показывает с чем смешаны вектор- столбцы

(х –может принимать значения ±1, тогда х² всегда=1, исходя из этого: )

Для нашей модели два взаимодействия. Вначале проверим с чем будет смешано взаимодействие х₁х_2. Т.к. определяющий контраст содержит в правой части единицу, а в левой – произведение единиц , которые дают эту 1. То умножим ОК на проверяемое взаимодействие . В левой части мы будем иметь собственно это взаимодействие, а в правой, с учетом того, что x_j = 1 ,будет стоять произведение факторов с которыми это произведение будет смешано т.к. между ними стоит знак равенства.

Для рассматривания взаимодействия х₁х₂ будем иметь

или

Значит чередование знаков в вектор- столбцах х₃ и взаимодействия х₁х₂ – полностью совпадают , что мы видим рассматривая построенную матрицу .

Рассмотрим с чем же будет смешано второе взаимодействие

Чем выше порядок взаимодействия (в данном случае 3 ) тем меньше вероятность того, что оно имеет место. И даже если такое взаимодействие есть, то коэффициент его взаимодействия мал.

Если нам априорно известно, что модель действительно содержит такие взаимодействия, то необходимо постараться так выбрать дополнительный фактор и соответственно ему ГС, чтобы оценки коэффициентов при взаимодействиях не были смешаны.

Так например будем считать, что х₄ – дополнительный фактор и для него выбираем ГС:

тогда ОК будет

Используя этот ОК определяем смешиванья взаимодействий

или смешивания нет

или

Значит, для предполагаемого вида мы правильно выбрали ГС позволяющее раздельно оценивать влияния факторов и взаимодействий. Смешиванье с тройными взаимодействиями маловероятно и влияние их на порядок меньше.

После проверки правильности ГС для основных факторов х₁, х₂ и х₃ строиться матрица по известному правилу, а изменение дополнительного фактора х₄ выбирается в соотношение с ГС.

Перед провидением эксперимента осуществляют рандомизацию, т.е. порядок проведения опытов определяется в соответствие с рядом равномерного распределения случайных чисел.

Это вызвано тем, что исходная матрица имеет j/2 опытов идущих подряд, когда уровень фактора должен быть зафиксирован.Чем больше уровень факторов, тем большее число опытов.

Поэтому если реализовать опыты в той последовательности, которая есть в исходной матрице, то будет сказываться влияния дрейфа этих факторов и кроме того, фиксированная реализация случайной погрешности задания уровня фактора проявляется в виде систематической погрешности, на время этих опытов, это в результате приведет к смешиванью оценок коэффициентов.