.Основные понятия математической статистики. Статистический эксперимент. Виды задач математической статистики.

Математическая статистика занимается составлением выводов об имеющихся данных (о модели эксперимента).

Базовое вероятностное пространство (Ω,₣,Ρ)

Частный случай – распределение случайного вектора:

Ω=Х=Rⁿ ; ₣=Д_n – борелевская σ-алгебра ; Ρ – распределение вероятностей

Получили более мелкое пространство, которое удобно использовать при работе с моделями математической статистики (Х, Д_n,Ρ).

Статистический эксперимент – тройка объектов (Х, Д_n,Ρ), где Ρ={Р_θ,θєΘ} - семейство вероятностей.

Стандартные предположения о семействе Ρ :

(1) Р_θ =Р_θ1 * Р_θ2 …*Р_θn , т.е. результат наблюдений (Х₁ … Х_n) є Rⁿ – независимые случайные величины при V θєΘ

(2) Р_θ1=Р_θ2=…=Р_θn , т.е. результат наблюдений (Х₁ … Х_n) є Rⁿ – независимые одинаково распределенные случайные величины (НОРСВ).

Если (1) и (2) выполнены, то (Х₁ … Х_n) – выборка – набор независимых одинаково распределенных наблюдений.

В задачу математической статистики входит только анализ данных и их интерпретация.

Выбор модели определяется характером полученных данных и не входит в задачу математической статистики. Семейство вероятностей Ρ определяется целью статистических исследований (априорной информацией), поэтому Ρ может быть параметризованно по-разному.

Пусть имеется совокупность результатов эксперимента (генеральная совокупность), тогда выборка – набор элементов однородной генеральной совокупности.

Задача математической статистики – сделать выводы о характере распределения генеральной совокупности по выборке. Роль генеральной совокупности в нашей модели играет теоретическое распределение.

Р_θ - теоретическое значение распределения, соответствует распределению генеральной совокупности.

Типы задач математической статистики:

1. Точное оценивание – по результатам наблюдений выбрать значение Р_θє Ρ , которое оптимальным образом согласуется с данными.

2. Интервальное оценивание - по результатам наблюдений выбрать область

Θ0 (Х₁ … Х_n) С Θ т.ч. при V θєΘ Р_θ(Θ0 (Х₁ … Х_n) э θ)≥1-α , где α - определенное маленькое число. Т.е. выбор такого множества, которое накрывает теоретическое значение параметра с вероятностью не меньше (1-α).

3. Проверка статистических гипотез – по результатам наблюдений выбрать из

Н₁… Н_n наиболее подходящую, где Н_i – взаимоисключающие гипотезы (предположения о значении параметров Н_i: θєΘ_i ; Θ_i∩Θ_i=0 ; UΘ_i=Θ).

2+4)Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко – Кантелли (план док-ва). Преобразование Смирнова. Теорема Колмогорова. Оценивание теоретической функции распределения эмпирической. Гистограмма и полигон частот.

Пусть (Х₁ … Х_n) выборка из распределения Р_θ . Истинное значение Р_θ - теоретическое распределение.

Эмпирическая функция распределения – функция следующего вида:

Fn(x) = 1/n* , где

Т.е. ее значение в точке х равно отношению числа наблюдений меньше х к общему числу наблюдений.

Теорема (Гливенко – Кантелли)

Пусть(Х₁ … Х_n) выборка из распределения с ф.р. F,тогда sup|Fn(x)-F(x)| почти наверное->0

План док-ва:

доказывается сходимость на ограниченном интервале (т.к. F неубывает и ограничена). Показывается, что изменение между двумя соседними точками мало. Доказывается, что сходимость на концах следует из :

-> sup|Fn(x)-F(x)|->0

Преобразование Смирнова

Пусть Х случайная величина с ф.р. F (непрерывна),тогда F(x)=Y-новая с.в. имеющая равномерное распределение U(0,1), т.е.:

Если F строго возрастает, то :

Теорема Колмогорова

Пусть (Х₁ … Х_n) выборка из распределения F(непрер.),тогда , где К – распр-е Колмогорова, т.е.:

, где

С ростом n, эмпирическая ф.р. приближается к теоретической. У э.ф.р. имеется -окрестность, по т. Гливенко – Кантелли вероятность того, что истинная ф.р. лежит в этой эмпирической -окрестности ->1 при .

По т. Колмогорова, вероятность того, что истинная ф.р. лежит в - окрестности эмпирической стремится к пределу K( ), где К(х) – ф.р. Колмогорова.

Пусть >0 – маленькое число, F – истинная ф.р., тогда если F₀=F , где F₀ предполагаемая ф.р., то с вероятностью

, т.е.

- доверительный интервал для теоретической ф.р.

Гистограмма и полигон частот:

Один из способов наглядного представления статистических данных – Гистограмма частот. Область значений с.в. разбивается на равные интервалы, подсчитывается число значений с.в. попавших в интервал и на каждом интервале строится прямоугольник, с основанием на этот интервал и высотой V/(nh), где V – число выборочных точек попавших в этот интервал, n – объем выборки, h – длина интервала. Площадь каждого такого прямоугольника по т Бернулли будет сходится при n-> к вероятности попадания с.в. в интервал.

Для оценки гладких плотностей используют методику, основанную на полигоне частот – ломаной кривой, строящейся следующим образом: если построена гистограмма частот, то ординаты ее средних точек на каждом из интервалов последовательно соединяются отрезками прямых. Гистограмма и полигон – статистические аналоги теоретической плотности.