12. Действия над числами в естественной форме.

1. Числа в естественной форме в памяти хранятся в дополнительном коде.

2. В сумматоре числа складываются вместе со знаками, при этом образуется знак результата.

3. При сложении чисел с разными знаками единица переноса из знакового разряда стирается, то есть компенсируется константа дополнительного кода.

4. При сложении чисел с одинаковыми знаками признаками переполнения разрядной сетки являются:

   • знак суммы не соответствует знакам слагаемых;

   • переносы из старшего разряда суммы в знаковый и из знакового за пределы разрядной сетки не согласуются.

Пример. A₁₀ = 254 = A₁₆ = FF = 11111110₂

B₁₀ = 175 = B₁₆ = AF = 10101111₂

Работаем в двух байтах. Составляем коды.

A_пр = 0000000011111110 -A_доп = 1111111100000010

B_пр = 0000000010101111 -B_доп = 1111111101010001

C₁ = A + B A_пр = 0000000011111110

B_пр = 0000000010101111

0000000110101101>0

C₂ = A – B A_пр = 0000000011111110

-B_доп = 1111111101010001

10000000001001111>0

C₃ = B – A B_пр = 0000000010101111

-A_доп = 1111111100000010

1111111110110001 – дополнительный код

C₄ = -A – B -A_доп = 1111111100000010

B_доп = 1111111101010001

11111111001010011

При получении сумм двух чисел с одинаковыми знаками переполнение разрядной сетки не произошло, так как знак суммы совпадает со знаками слагаемых и переносы из старшего разряда в знаковый и из знакового согласуются.

1. При получении сумм C₂ и C₄ образуется перенос из знакового разряда, который необходимо исключать.

2. Суммы C₁, C₂ – положительные, C₃, C₄ – отрицательные. C₃, C₄ хранятся в памяти в дополнительном коде, то есть без преобразования.

A₁₀ = 25756 = A₁₆ = 649C

B₁₀ = 7125 = B₁₆ = 1BD5

С₁ = A + B C₂ = -A – B

A_ПК = 0110010010011100

+B_ПК = 0001101111010101

1000000001110001

A_ДК = 1001101101100100

+B_ДК = 1110010000101011

10111111110001111

2¹⁵ – 1 = 32767

В обоих примерах произошло переполнение разрядной сетки за допустимые пределы: знаки сумм не соответствуют знакам слагаемых и переносы из старшего разряда в знаковый и из знакового разряда не согласуются.

13. Действия над числами в нормальной форме.

1. Числа в нормальной форме хранятся в памяти в прямом коде с нормализованными мантиссами.

2. Сложение чисел проводится путём сложения их мантисс при одинаковых характеристиках слагаемых. За общий выбирается наибольший порядок. Выравнивание порядков слагаемых проводится путём сдвига вправо мантиссы меньшего числа.

P_A > P_B P = P_A - P_B P_B = P_A - P

3. При сложении мантисс с одинаковыми знаками возможно переполнение разрядной сетки, что будет являться нарушением нормализации влево. Для его устранения необходим сдвиг мантиссы на один разряд вправо и, соответственно, увеличение характеристики на 1.

4. Результаты в прямом коде нормализуются.

5. Действия в сумматоре выполняются над кодами мантисс, которые поступают из регистров в младшие 24 бита сумматора, знаки мантисс и характеристики заносятся в специальные схемы, которые обеспечивают выравнивание характ., норм. мантиссы рез., формирование знака результата и характеристики результата. Старшие разряды сумматора 24-31 заполняются нулями.

6. Алгоритмы сложения после выравнивания характеристик зависят от знаков слагаемых:

• если знаки одинаковые, модули мантисс (прямые коды) суммируются. Переполнение определяется наличием переноса единицы из старшего разряда мантиссы в 24 бит, что вызывает нарушение нормализации мантиссы влево. Нормализация проводится сдвигом на одну шестнадцатую вправо. Старшая тетрада мантиссы заполняется кодом 0001. Характеристика результата увеличивается на 1. В регистре результата сумматора формируется результат операции: схема анализа знака и характеристик. В 31-й заносят знак результата. В 30-24 – характеристика. 23-0 – мантисса в прямом коде;

• если знаки слагаемых различны, отрицательная мантисса преобразуется в дополнительный код и мантиссы суммируются. Признаком положительного результата является перенос из старшего разряда мантиссы в младший характеристики, который стирается. Признаком отрицательного результата – его отсутствие. При этом мантисса представляется в дополнительном коде и должна быть преобразована в прямой. При сложении чисел с разными знаками возможно нарушение нормализации мантиссы вправо, тогда старшая 16-ая цифра мантиссы равна нулю. Нормализацию проводят сдвигом на 16-ую цифру влево и уменьшением характеристики на 1. После этого в регистре формируется результат. Знаковый разряд заносят в знаковый разряд большего по модулю слагаемого.

A = 15 7/8; B = 5/16;

A₁₆ = F,E; B₁₆ = 0,5;

m_A = 0,FE; p_A = 40 + 1 = 41;

m_B = 0,5; p_B = 40;

m^*_B = 0,05;

C₁ = A + B;

m_Aпк = 00’FE0000; p_A = 41;

m^*_Bпк = 00’050000; p_B = 41;

m_C1пк = 00’103000; p_C1 = 41 + 1 = 42;

Единица переноса из старшего разряда в характеристику характеризует переполнение разрядной сетки. Это нарушение нормализации влево. Мантиссу необходимо сдвинуть на одну 16-ую вправо, порядок увеличить на 1.

C₁ = 15 7/8 + 5/16 = 16 3/16;

C₁  01000010000100000011000000000000;

42103000;

C₂ = -A – B = -(A + B);

Мантисса складывается в прямых кодах, в знаковый разряд результата записывается знак одного из слагаемых.

C₂  11000010000100000011000000000000;

С2103000;

C₃ = A – B; C₄ = B – A;

m^*_Bдк = 01’000000 m_Aпк = 00’FE0000 p_A = 41

-00’050000 m^*_Bдк = 00’FB0000 p_B = 41

00’FB0000 m_C3 = 01’F90000 p_C3 = 41

Так как слагаемые имеют разные знаки, то единица переноса из старшего разряда мантиссы является признаком положительного результата и должна быть стёрта для компенсации константы дополнительного кода.

С₃ = 01000001111110010000000000000000

m_Aдк = 01’000000 m_Aдк = 00’020000 p_A = 41

-00’FE0000 m^*_Bпк = 00’050000 p_B = 41

00’020000 00’070000 p_C4 = 41

Переноса из старшего разряда мантиссы нет, поэтому результат отрицательный находится в дополнительном коде и должен быть переведён в прямой.

1,000000

-0,070000

0,FE0000

C₄  11000001111110010000000000000000

С1F90000