19. (Приведение квадр. Формы к канон. Виду методом ортогон. Преобразов.)

L – евклидово пространство. S – о.н.б. (x) – квадратичная форма. А – матрица квадр. формы (x) в базисе S.

Тогда A^T = A. Рассмотрим A^, имеющий в S матрицу А.

A^ - линейный оператор с матрицей А

(A^)* - имеет в базисе S матрицу А^Т

Но A^T = A  A^ = (A^)*  A^ - самосопряжённый оператор.

По свойству самосопр. оператора, он имеет ортонормированный базис из собственных векторов линейного оператора A^ - S = {f₁, …, f_n}.

А = А = (P_S-S)^-1А P_S-S

Однако P можно рассматривать, как матрицу некоторого линейного оператора в S: P^T = P^-1

 А = (P_S-S)^TА P_S-S  в базисе S (х) = ₁x₁² + ₂x₂² + … +_nx_n² имеет канонич. вид.

5