13. Евклидово пространство

а) (x, y) = |x||y|cos (в базисе i, j, k)

б) (x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + x₂y₂

в базисе i, j, k: |x| = (x₁² + x₂² + x₃²)^1/2

Опр: Скалярным произведением в линейном пространстве L называется числовая функция 2-х векторных аргументов обладающая следующими свойствами:

в) Свойства:

- (x, y) = (y, x)

- (x, y + z) = (x, y) + (x, z)

- (x, y) = (y, x)

- (x, x)  0 причём (x, x) = 0  x = 0

Другими словами скалярное произведение – это симметрическая билинейная форма, причём порождённая ею квадр. форма положительно определена.

Пример:

V₃: (x, y) = |x||y| cos

Евклидово пространство – пространство, в котором определенно скалярное произведение.

V₃: (x, y) = |x||y| cos |x| = (x, x)^1/2 cos = (x, y)/|x||y|

Пусть L – лин. пространство. (x, y) – скалярное произведение.

1. ||x|| = (x, x)^1/2;

2. cos = (x, y)/||x||||y||, x  0, y  0

3. x  0, y  0 ортогональны (x  y), если (x, y) = 0;

Свойства нормы:

1. ||x|| = ||||x||;

2. ||x||  0, причём ||x|| = 0  x = 0;

Док-во:

а) ||x|| = (x, x)^1/2 = (²(x, x))^1/2 = ||||x||;

б) x  0  ||x|| = (x, x)^1/2 > 0 (по опредеоению)

||0|| = (0, 0)^1/2 = (0x, 0x) = (по свойству 1) 0||x|| = 0;

3. Теорема Пифагора.

если (x  y), то ||x + y||² = ||x||² + ||y||²;

Док-во:

||x + y||² = (x+y, x+y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = ||x||² + ||y||²;

4) ||x + y||  ||x|| + ||y||

Док-во:

||x + y|| = (x+y, x+y)^1/2  (||x||² + 2||x||||y|| + ||y||²)^1/2 = ||x|| + ||y|| (исп. нер. Коши-Буняковского)

Неравенство Коши-Буняковского:

Для любых x, y  L(лин. евклидово пространство) справедливо:

|(x, y)|  ||x||||y||, причём |(x, y)| = ||x||||y||  : либо x = y либо y = x;

Док-во:

1) Пусть x = y  |(x, y)| = |||(y, y)| = ||||y||²

||x||||y|| = ||y||||y|| = ||||y||²

2) Пусть y = x  |(x, y)| = |||(x, x)| = ||||x||²

||x||||y|| = ||x||||x|| = ||||x||²

3) Пусть x, y  0; для любого : y  x  y - x  0.

(y - x, y - x) = ²||x||² - 2(y, x) +||y||² > 0, при любом 

D < 0: 4((x, y))² - 4||y||²||x||² < 0;

|(x, y)|  ||y||||x||  |cos| = |(x, y)|/ ||y||||x||  1;

ч. т. д.

Билет 14. (Матрица Грамма)+

Пусть L – линейное пространство. (x, y) – скалярное произв. S = {e₁, … , e_n} – базис.

g_ij = (e_i, e_j), т.е. каждый элемент матрицы Грамма представляет собой скалярное произведение i–ого и j-ого базисных векторов.

G = g_ij = - матрица Грамма.

Теорема:

Пусть L – линейное пространство. (x, y) – скалярное произв. S = {e₁, … , e_n} – базис.

G – матрица Грамма в заданном базисе S.

Тогда:

1. (x, y) = (x1…xn)G = X^TGY – векторно-матричная запись.

2. (x, y) = x_iy_jg_ij – координатная запись.

Следствия:

1. ||x|| = (x, x)^1/2 = (X^TGX)^1/2.

2. ||x|| = (x, x)^1/2 = (x_ix_jg_ij)^1/2.

Свойства матрицы Грамма:

1. G^T = G (т.к. симметричная)

2. M₁ = g₁₁, M₂ = > 0;

Теорема:

Пусть L – линейное пространство. S = {e₁, … , e_n} – базис. G – матрица Грамма в заданном базисе S, обладающая свойствами 1) и 2).  функция(x, y) = X^TGY – скалярное произведение, причём G – матрица Грамма скалярного произведения в базисе S.

Док-во: см. аналогичную теорему для билинейных форм.

Вывод:

симметрия G и выполнения для неё критерия Сильвестра является необх. и достаточным условием того, чтобы G была матрицей Грамма скалярного произведения.

Преобразование матрицы Грамма при замене базиса:

S₁ = {e₁, …, e_n}, S₁ = {f₁, …, f_n}, P_S1-S2 – матрица перехода.

G₁ – матрица Грамма в базисе S₁, G₂ – матрица Грамма в базисе S₂, Тогда:

G₂ = P^TG₁P

15. ортогональный и ортонормированный базис+

Пусть L – евклидово пространство.

Теорема:

Если е₁ … е_n – ненулевые, попарно ортогональные вектора, то они линейно независимы. Док-во:

Пусть вектора линейно зависимы  ₁…_n (одновременно  0). Тогда

(1) е₁₁…е_n_n | e₁ и в силу линейности скалярного произведения ₁(е₁, e₁)+…+(e₁, e_n)_n = (e₁, 0) = 0  ₁(е₁, e₁) = 0  ₁||e₁||² = 0  ₁ = 0; Далее домножим (1) на е₂ и т.д. докажем таким образом, что ₁…_n = 0 (одновременно)  е₁ … е_n - линейно независимы.

Следствие:

- В евклидовом пространстве размерности (n) система из (n) попарно ортогональных векторов образует базис – ортогональный базис евклидова пространства L.

- Базис, состоящий из (n) попарно ортогональных векторов, каждый из которых имеет единичную норму, называется ортонормированным базисом евклидова пространства L.

Рассмотрим:

а) S = {e₁, … , e_n} – ортогональный базис. Тогда:

(e_i, e_j) = 0, i  j;

(e_i, e_j) = ||e_i||² = _i, i = j;

G =  (x, y) = X^TGY = ₁x₁y₁ + ₂x₂y₂+…+_nx_ny_n;

б) S = {e₁, … , e_n} – ортонормированный базис. Тогда:

(e_i, e_j) = 0, i  j;

(e_i, e_j) = ||e_i||² = 1, i = j;

G = E (единичная матрица)  (x, y) = X^TGY = x₁y₁т+ x₂y₂+…+x_ny_n;

Метод ортогонализации базиса:

V₃: Пусть S₁ = {e₁, …, e_n} – базис. (n = 3)

Построим ортогональный базис:

f₁ = e₁

f₂ = e₂ + e₁, где коэф.  подберём таким образом, чтобы (f₁, f₂) = 0, т.е. (f₁f₂): (f₁, f₂) = (e₁, e₂) + (e₁, f₁) = 0   = -(f₁, e₂)/ (f₁, f₁);  f₂ = e₂ – [(f₁, e₂)/(f₁, f₁)]f₁;

f₃ = e₃ + f₁ + f₂, где коэф. ,  подберём таким образом, чтобы (f₁, f₃) = 0 и (f₂, f₃) = 0:

(f₁, f₃) = (f₁, f₃) + ( f₁, f₁) = 0;

(f₂, f₃) = (f₂, f₃) + ( f₂, f₂) = 0; Из этих двух уравнений находим  и .

В общем же случае: f_k = e_k - , где k = 2, …, n.

Итак, получаем ортогональный базис S₂ = {f₁, …, f_n} (n = 3)

Если к тому же разделить каждый вектор f_i полученного ортогонального базиса на его норму (g_i = f_i/||f_i||), то получим ортонормированный базис.

16. сопряжённый оператор+

Пусть L – евклидово пр-во. А^ - лин. оператор. Тогда: (А^)* - сопряжённый к А^, если:

(А^x, y) = (x, А^*y);

Утверждение:

B^ и С^ - лин. операторы в евкл. пр-ве L и (x, B^y) = (x, С^y)  B^ = С^;

Док-во:

(x, B^y) - (x, С^y) = (x, B^y - С^y) = ( x, (B^-С^)y ) = 0, для любых x, y.

Пусть y  0, а x = (B^-С^)y;  ( (B^-С^)y, (B^-С^)y ) = 0, для любого y  0  B^ = С^;

Теорема:

Для любого А^ в евклидовом пространстве L  (А^)* и притом единственный. В ортонормированном базисе S матрица А* получается из матрицы оператора А транспонированием. (А* = А^Т).

Док-во:

S = {e₁, … , e_n} – ортонормированный базис.

а) Единственность:

(А₁^)* и (А₂^)* - сопряж. операторы к А^.

(А^x, y) = (x, (А₁^)*y);

(А^x, y) = (x, (А₂^)*y);



(x, (А₁^)*y) = (x, (А₂^)*y), для любых x, y.  (А₁^)* = (А₂^)*

б) Существование:

Пусть А – матрица оператора А^ в базисе S. В = А^Т. Рассмотрим лин. оператор В^, имеющий в S матрицу В. Докажем, что В^ = А^*.

А^х = А ; А^у = А ; Тогда (А^х, у) = (А )^ТG = (G = E) = (A^T ) = (B ) = (x, B^y), для любых x, y.  B^ = (A^)*

Свойства (А^)*:

1. (I^)* = I^

2. (A^)* = (A^)*

3. (A^ + B^)* = (A^)* + (B^)*

4. (A^B^) = (A^)*(B^)*

5. Если  (А^)^-1, то ((А^)^-1)* = ((A^)*)^-1.

17. (самосопряжённый оператор)+

Пусть L – евклидово пр-во. А^ - лин. оператор. Тогда: (А^) - самосопряжённый, если:

A^* = A^  (А^x, y) = (x, А^y); (для любых x, y  L);

Матрица самосопр. оператора в ортонормированном базисе – симметрична:

1. A^T = A

2. I* = I [(I^x, y) = (x, (I^)*y)  (I^x, y) = (x, I^y) для любых x, y  I* = I]

3. A^ и B^ - самосопр. операторы  (A^ + B^) – самосопр. [(A^ + B^)* = (A^)* + (B^)* = (A^ + B^)]

4. A^B^ - самосопр., если A^B^ = B^A^; [(A^B^)* = (B^)*(A^)* = A^B^]

5. Если A^ имеет обратный, то (A^)^-1 – самосопряжённый оператор. [((A^)^-1)* = ((A^)*)^-1 = (A^)^-1]

6. Все корни характеристического уравнения – вещественные.

Самосопр. оператор имеет ортонормированный базис из собственных векторов

18. (ортогональный оператор)+

Пусть L – евклидово пр-во. А^ - лин. оператор. Лин. оператор A^ называется ортогональным, если: (А^x, А^y) = (x, y), для любых x, y.

Пример: Оператор поворота Т_

Теорема:

Оператор А^ является ортогональным  когда он переводит ортонормированный базис S в ортонормированный базис S.

Док-во:

1) A^ - ортогональный оператор. S = {e₁, …, e_n} – ортонормированный базис.

Тогда S = { A^e₁, …, A^e_n} – о.н.б.

(A^e_i, A^e_j) = (e_i, e_j) = либо 0 (ij), либо 1 (i=j)? т.е. вектора S попарно ортогональны и норма каждого вектора = 1. Если же вектора попарно ортогональны, то они л.н.з. (была теорема)  S образует ортонормированный базис в L.

2) S = {e₁, …, e_n} – ортонормированный базис. S = { A^e₁, …, A^e_n} – о.н.б.

Покажем, что A^ - ортогональный оператор.

x = x₁e₁+ … +x_ne_n, A^x = x₁A^e₁+ … +x_nA^e_n;

y = y₁e₁+ … +y_ne_n, A^y = y₁A^e₁+ … +y_nA^e_n;

(x, y) = x_iy_j(e_i, e_j) = x_iy_j = x₁y₁+ … +x_ny_n = (A^x, A^y) = x_iy_j( A^e_i, A^e_j) = x_iy_i;  A^ - ортогональный оператор.

ч.т.д.

Рассмотрим матрицу оператора А^ в ортонормированном базисе S: очевидно, что она является матрицей перехода от базиса S к базису S: As = P_S-S  матрица A^ не вырождена  ортогональный оператор всегда имеет обратный.

Теорема:

Лии. оператор A^ является ортогональным  когда  (A^)^-1 = (A^)*

Док-во:

1. Пусть  (A^)^-1 = (A^)*; Тогда (A^x, A^y) = (x, A^*(A^y)) = (x, (A^)^-1(A^y)) = (x, y), для любых x, y  A^ - ортогональный оператор.

2. Пусть A^ - ортогональный оператор  (A^)^-1 (по доказанному выше);

(A^x, A^y) = (x, A^*(A^y)) = (x, y), для любых x, y.  (A^)*A^ = I^ (A^)*( A^(A^)^-1) = I^(A^)^-1  (A^)* = (A^)^-1

ч.т.д.

Свойства ортог. операторов:

1. I^ - ортогональный оператор

2. Если А^ - ортогонален, то (A^)^-1 – ортогонален

3. Если A^, B^ - ортогон. операторы, то A^B^;

Ортогональные матрицы и их свойства:

Пусть A – матрица ортогон. оператора A^ в ортонормированном базисе S. Тогда:

1. A^-1 = A^T;

2. detA = 1; [1 = detAA^-1 = detAA^T = (detA)² (т.к. при транспон. детерминант не меняется) = 1]